Gizli funksiyaları necə əldə etmək olar: 7 addım (şəkillərlə birlikdə)

2024 Müəllif: Jason Gerald | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-16 19:09

Hesabda, y üçün x şəklində yazılmış bir tənliyə sahib olduğunuzda (məsələn, y = x² -3x), törəməni tapmaq üçün əsas törəmə texnikalarını (riyaziyyatçılar tərəfindən gizli funksiya törəmə üsulları adlandırırlar) istifadə etmək asandır. Ancaq bərabər işarəsinin bir tərəfində yalnız y termini ilə qurulması çətin olan tənliklər üçün (məsələn, x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19) fərqli bir yanaşma lazımdır. Gizli funksiya törəmələri adlanan bir texnika ilə, açıq funksiya törəmələrinin əsaslarını bildiyiniz müddətcə çox dəyişənli tənliklərin törəmələrini tapmaq asandır!

Addım

Metod 1 /2: Sadə Tənlikləri Sürətlə Gəlir

Addım 1. Həmişəki kimi x terminlərini çıxarın

X kimi çox dəyişənli bir tənlik çıxarmağa çalışarkən² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, haradan başlayacağını bilmək çətin ola bilər. Xoşbəxtlikdən, gizli bir funksiyanın törəməsinin ilk addımı ən asandır. Başlamaq üçün adi (açıq) törəmələrin qaydalarına uyğun olaraq tənliyin hər iki tərəfindəki x-terminləri və sabitləri əldə edin. Hələlik y şərtlərinə məhəl qoymayın.

• Yuxarıdakı sadə tənliyə bir nümunə çıxarmağa çalışaq. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 iki x: x termininə malikdir² və -5x. Bir tənlik əldə etmək istəyiriksə, əvvəlcə bunu etməliyik:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (X -də 2 -nin gücünə gətirin² əmsal olaraq x -5x -də silin və 19 -u 0 -a dəyişin)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Addım 2. Y şərtlərini çıxarın və hər bir terminin yanına (dy/dx) əlavə edin

Növbəti addımınız üçün x şərtlərini əldə etdiyiniz kimi y şərtlərini də əldə edin. Ancaq bu dəfə əmsalları əlavə etdiyiniz kimi hər bir terminin yanına (dy/dx) əlavə edin. Məsələn, y -ni aşağı salsanız², sonra törəmə 2y (dy/dx) olur. Bu anda x və y olan şərtləri görməməzliyə vurun.

• Misalımızda tənliyimiz indi belə görünür: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. y -nin alınmasının növbəti addımını aşağıdakı kimi yerinə yetirəcəyik:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (2 -ci ildə gücünü aşağı salın² əmsal olaraq yi 8y -də çıxarın və hər bir müddətin yanına dy/dx qoyun).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Addım 3. X və y olan terminlər üçün məhsul qaydasını və ya hissə qaydasını istifadə edin

X və y olan terminlərlə işləmək bir az çətindir, ancaq məhsulun qaydalarını və törəmələrin hissəsini bilirsinizsə, bunu asan tapa bilərsiniz. X və y terminləri vurulursa, məhsul qaydasını istifadə edin ((f × g) '= f' × g + g × f '), x termini f ilə y termini g ilə əvəz edir. Digər tərəfdən, x və y terminləri bir -birini istisna edirsə, nisbət qaydasından istifadə edin ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), f -nin sayını və g -nin məxrəcini əvəz edir.

• Misalımızda, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, x və y - 2xy olan yalnız bir terminimiz var². X və y bir -birinə vurulduğundan, məhsul qaydasını aşağıdakı kimi əldə etmək üçün istifadə edəcəyik:

  2xsi² = (2x) (y²)- 2x = f və y təyin edin² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2y² + 4xy (dy/dx)

• Bunu əsas tənliyə əlavə edərək əldə edirik 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Addım 4. Tək (dy/dx)

Demək olar ki, bitirdiniz! İndi etməniz lazım olan hər şey tənliyi həll etməkdir (dy/dx). Bu çətin görünür, amma ümumiyyətlə belə olmur - unutmayın ki, a və b hər iki termin (dy/dx) ilə vurulur, çarpmanın paylayıcı xüsusiyyəti səbəbindən (a + b) (dy/dx) olaraq yazıla bilər. Bu taktika təcrid etməyi (dy/dx) asanlaşdıra bilər - digər bütün şərtləri mötərizənin digər tərəfinə köçürün, sonra (dy/dx) yanındakı mötərizədəki şərtlərə bölün.

• Misalımızda 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y sadələşdiririk² + 4xy (dy/dx) = 0 aşağıdakı kimi:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metod 2 /2: Qabaqcıl Texnikalardan istifadə

Addım 1. Hər hansı bir nöqtə üçün (dy/dx) tapmaq üçün (x, y) dəyərini daxil edin

Təhlükəsiz! Tənlikinizi artıq gizli şəkildə əldə etdiniz - ilk cəhddə asan bir iş deyil! Hər hansı bir nöqtə (x, y) üçün gradient (dy/dx) tapmaq üçün bu tənliyi istifadə etmək, nöqtənizin x və y dəyərlərini tənliyin sağ tərəfinə bağlamaq, sonra tapmaq (dy/dx) qədər asandır..

• Məsələn, yuxarıdakı nümunə tənliyimiz üçün (3, -4) nöqtəsindəki qradiyenti tapmaq istədiyimizi fərz edək. Bunu etmək üçün x -in yerinə 3 -ü, y -ni isə aşağıdakı kimi həll edəcəyik:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48və ya 0, 6875.

Addım 2. Funksiyalar daxilində funksiyalar üçün zəncir qaydasından istifadə edin

Zəncir qaydası, hesablama problemləri üzərində işləyərkən əldə edilməli olan vacib bir məlumat parçasıdır (gizli funksiya törəmə problemləri daxil olmaqla). Zəncir qaydası, F (x) funksiyası üçün (f o g) (x), F (x) törəməsi bərabərdir f '(g (x)) g' (x). Çətin örtüklü funksiya törəmə problemləri üçün bu, tənliyin fərqli ayrı hissələrini çıxarmaq və sonra nəticələri birləşdirmək mümkündür.

• Sadə bir nümunə olaraq, günahın törəməsini tapmalıyıq (3x² + x) sin tənliyi üçün daha böyük örtüklü funksiyanın törəmə probleminin bir hissəsi olaraq (3x² + x) + y³ = 0. Günah təsəvvür etsək (3x² + x) f (x) və 3x olaraq² + x (g) olaraq, törəməni aşağıdakı kimi tapa bilərik:

  f '(g (x)) g' (x)

  (günah (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Addım 3. x, y və z dəyişənləri olan tənliklər üçün (dz/dx) və (dz/dy) tapın

Əsas hesablamalarda qeyri -adi olsa da, bəzi inkişaf etmiş tətbiqlər ikidən çox dəyişənin örtüklü funksiyalarının alınmasını tələb edə bilər. Hər bir əlavə dəyişən üçün x ilə əlaqədar əlavə törəmə tapmalısınız. Məsələn, x, y və z varsa, hər ikisini (dz/dy) və (dz/dx) axtarmalısınız. Bunu iki dəfə x ilə əlaqədar tənlik çıxarmaqla edə bilərik - birincisi, hər dəfə z olan bir termin çıxardıqda (dz/dx), ikincisi də hər dəfə çıxardıqda (dz/dy) daxil edəcəyik. z. Bundan sonra, yalnız (dz/dx) və (dz/dy) həll etmək qalır.

• Məsələn, deyək ki, x çıxarmağa çalışırıq³z² - 5xsi⁵z = x² + y³.

• Əvvəlcə x əleyhinə çıxaq və (dz/dx) daxil olaq. Lazım gələrsə məhsul qaydasını tətbiq etməyi unutmayın!

  x³z² - 5xsi⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5y⁵z - 5xsi⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2 dəfə³z - 5xsi⁵) (dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xsi⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z)/(2x³z - 5xsi⁵)

• İndi (dz/dy) üçün də eyni şeyi edin

  x³z² - 5xsi⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xsi⁴z - 5xsi⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xsi⁵) (dz/dy) = 3y² + 25xsi⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xsi⁴z)/(2x³z - 5xsi⁵)