Trinomial faktor yaratmağın 3 yolu

2024 Müəllif: Jason Gerald | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-15 08:09

Trinomial, üç termindən ibarət cəbr ifadəsidir. Çox güman ki, balta şəklində yazılmış üçbucaqlı bir kvadrat üçbucağı necə əmsal etməyi öyrənməyə başlayacaqsınız.² + bx + c. Öyrənmək üçün bir çox müxtəlif növ üçbucaqlı üçbucaq üçün istifadə edilə bilən bir neçə fənd var, ancaq təcrübə ilə daha yaxşı və daha sürətli istifadə edə biləcəksiniz. X kimi şərtləri olan daha yüksək dərəcəli polinomlar³ və ya x⁴, hər zaman eyni şəkildə həll edilə bilməz, ancaq hər hansı digər kvadratik düstur kimi həll edilə bilən bir problemə çevirmək üçün tez -tez sadə faktorinq və ya əvəz etmədən istifadə edə bilərsiniz.

Addım

Metod 3 -dən 1: Faktorinq x² + bx + c

Addım 1. PLDT vurulmasını öyrənin

(X+2) (x+4) kimi ifadələri çoxaltmaq üçün PLDT və ya "Birincisi, Xaricdə, İçində, Sonu" necə vurulacağını öyrənmiş ola bilərsiniz. Vurmadan əvvəl bu çarpmanın necə işlədiyini bilmək faydalıdır:

• Qəbilələri çoxaldın Birincisi: (x+2)(x+4) = x² + _

• Qəbilələri çoxaldın Çöldə: (x+2) (x+

  Addım 4.) = x²+ 4x + _

• Qəbilələri çoxaldın Daxilində: (x+

  Addım 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Qəbilələri çoxaldın Final: (x+

  Addım 2.) (x

  Addım 4.) = x²+4x+2x

  Addım 8.

• Sadələşdirin: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Addım 2. Faktorinqi anlayın

PLDT metodundan istifadə edərək iki binomialı çoxaltdığınızda, a x şəklində trinomial (üç terminli bir ifadə) alırsınız.²+ b x+ c, burada a, b və c adi ədədlərdir. Eyni formaya malik bir tənliklə başlasanız, onu yenidən iki binomiala ayıra bilərsiniz.

• Tənliklər bu qaydada yazılmayıbsa, tənlikləri elə düzün ki, bu sıraya sahib olsunlar. Məsələn, yenidən yazın 3x - 10 + x² Olur x² + 3x - 10.
• Çünki ən yüksək güc 2 (x², bu tip ifadəyə kvadratik deyilir.

Addım 3. PLDT vurma şəklində cavab üçün boş yer buraxın

Hələlik sadəcə yaz (_ _)(_ _) cavabı harada yazacaqsınız. Üzərində işləyərkən dolduracağıq

Doğru işarəni hələ bilmədiyimiz üçün boş terminlər arasında + və ya yazmayın

Addım 4. İlk şərtləri daxil edin

Sadə problemlər üçün, trinomialınızın ilk dövrü yalnız x -dir², Birinci mövqedəki şərtlər həmişədir x və x. Bunlar x termininin faktorlarıdır² çünki x dəfə x = x².

• Nümunəmiz x² + 3x - 10 x ilə başlayır², belə yaza bilərik:
• (x _) (x _)
• Növbəti hissədə 6x kimi terminlərlə başlayan trinomiallar da daxil olmaqla daha mürəkkəb problemlər üzərində işləyəcəyik² və ya -x². Bu arada, bu nümunə sualları izləyin.

Addım 5. Son şərtləri tapmaq üçün faktorinqdən istifadə edin

Geri qayıtsanız və PLDT -nin necə vurulacağına dair addımları oxusanız, Son şərtlərin vurulmasının polinomda son xanı (x olmayan terminlər) meydana gətirəcəyini görəcəksiniz. Faktor etmək üçün, vurulduqda son dövrü çıxaracaq iki ədəd tapmalıyıq.

• Misalımızda x² + 3x - 10, son dövr -10.
• -10 amilləri nələrdir? Hansı ədəd -10 ilə vurulur?
• Bir neçə variant var: -1 dəfə 10, 1 dəfə -10, -2 dəfə 5 və ya 2 dəfə -5. Bu cütləri xatırlamaq üçün bir yerə yazın.
• Cavabımızı hələ dəyişməyin. Cavabımız hələ də belə olmalıdır: (x _) (x _).

Addım 6. Xarici və Daxili məhsula uyğun olan imkanları sınayın

Son şərtləri bir neçə ehtimala endirdik. Xarici və Daxili şərtləri çoxaldaraq və trinomial ilə məhsulu müqayisə edərək, hər bir imkanı sınamaq üçün sınaq sistemindən istifadə edin. Misal üçün:

• Orijinal problemimiz 3x -də "x" termini idi, buna görə test nəticələrimiz bu terminlə uyğun olmalıdır.
• Testlər -1 və 10: (x -1) (x+10). Xarici + Daxili = 10x - x = 9x. Səhv.
• Testlər 1 və -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Bu səhvdir. Əslində, -1 və 10 -u sınasanız, 1 və -10 -un yuxarıdakı cavabın əksinə olduğunu görürsünüz: 9x yerinə -9x.
• Testlər -2 və 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Nəticə başlanğıc polinomuna uyğundur, buna görə düzgün cavab budur: (x-2) (x+5).
• Bu kimi sadə hallarda, x termininin qarşısında sabitiniz yoxdursa², sürətli yoldan istifadə edə bilərsiniz: iki faktoru əlavə edin və arxasına "x" qoyun (-2+5 → 3x). Ancaq bu üsul daha mürəkkəb problemlər üçün işləmir, buna görə də yuxarıda təsvir edilən "uzun yolu" xatırlamaq daha yaxşıdır.

Metod 2 /3: Daha Kompleks Trinomialların Faktorlanması

Addım 1. Daha mürəkkəb problemləri asanlaşdırmaq üçün sadə faktorinqdən istifadə edin

Məsələn, faktoru nəzərə almaq lazımdır 3x² + 9x30. Hər üç şərti ("ən böyük ortaq faktor" və ya GCF) təsir edə biləcək bir rəqəm tapın. Bu vəziyyətdə GCF 3 -dir:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Beləliklə, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Yeni trinomialı yuxarıdakı hissədəki addımları istifadə edərək hesablaya bilərik. Son cavabımız olacaq (3) (x-2) (x+5).

Addım 2. Daha mürəkkəb amillər axtarın

Bəzən faktorinqə bir dəyişən daxil ola bilər və ya mümkün olan ən sadə ifadəni tapmaq üçün bir neçə dəfə faktora ehtiyacınız ola bilər. Budur bəzi nümunələr:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Metod 1 -dəki addımları istifadə edərək yeni üçbucağı yenidən düzəltməyi unutmayın. İşinizi yoxlayın və bu səhifənin altındakı nümunə suallarda oxşar problemlərin nümunələrini axtarın.

Addım 3. X -in qarşısındakı rəqəmlə problemləri həll edin².

Bəzi kvadratik üçbucaqlar ən asan problem tipinə endirilə bilməz. 3x kimi problemləri necə həll edəcəyinizi öyrənin² + 10x + 8, sonra bu səhifənin altındakı nümunə suallarla təkbaşına məşq edin:

• Cavabımızı belə təyin edin: (_ _)(_ _)
• "İlk" şərtlərimizin hər biri bir x olacaq və onları vurmaq 3x verir². Yalnız bir ehtimal var: (3x _) (x _).
• 8 -in faktorlarını sadalayın. Oranlar 1 dəfə 8 və ya 2 dəfə 4 -ə bərabərdir.
• Xarici və Daxili terminləri istifadə edərək bu imkanı sınayın. Diqqət yetirin ki, faktorların sırası çox vacibdir, çünki Xarici termin x əvəzinə 3x ilə vurulur. Out+In = 10x (orijinal problemdən) çıxana qədər hər imkanı sınayın:
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x yox
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x yox
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x yox
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x bəli. Bu doğru faktordur.

Addım 4. Yüksək dərəcəli trinomiallar üçün əvəzedicidən istifadə edin

Riyaziyyat kitabınız x kimi yüksək güclərə malik tənliklər ilə sizi təəccübləndirə bilər⁴, problemi asanlaşdırmaq üçün sadə faktoringdən istifadə etdikdən sonra da. Onu necə həll edəcəyinizi bildiyiniz bir problemə çevirən yeni bir dəyişənlə əvəz etməyə çalışın. Misal üçün:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Yeni bir dəyişən yaradaq. Y = x deyək² və daxil edin:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). İndi onu yenidən ilkin dəyişənə çevirin:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metod 3 /3: Faktorinq Xüsusi Hallar

Addım 1. Əsas ədədləri tapın

Üçbucağın birinci və ya üçüncü müddətindəki sabitin bir ədəd olub olmadığını yoxlayın. Bir sadə ədəd yalnız özünə bölünür və 1, buna görə də yalnız bir cüt cüt faktor var.

• Məsələn, x -də² + 6x + 5, 5 bir ədəddir, buna görə də binomial (_ 5) (_ 1) formasında olmalıdır.
• 3x problemində²+10x+8, 3 bir ədəddir, buna görə binomial (3x _) (x _) formasında olmalıdır.
• Suallar üçün 3x²+4x+1, həm 3, həm də 1 sadə ədədlərdir, buna görə mümkün olan yeganə həll (3x+1) (x+1) -dir. (Cavabınızı yoxlamaq üçün hələ də bu rəqəmi çoxaltmalısınız, çünki bəzi ifadələr heç bir şəkildə faktorlandırıla bilməz - məsələn, 3x²+100x+1 faktoru yoxdur.)

Addım 2. Trinomialın mükəmməl bir kvadrat olub olmadığını öyrənin

Mükəmməl bir kvadrat üçlü iki eyni binomiala bölünə bilər və faktor ümumiyyətlə (x+1) olaraq yazılır² və (x+1) (x+1) deyil. Suallarda görünməyə meylli olan bəzi nümunələr:

• x²+2x+1 = (x+1)²və x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)²və x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)²və x²-6x+9 = (x-3)²
• A x şəklində mükəmməl kvadrat trinomial² + bx + c hər zaman müsbət mükəmməl kvadratlar olan a və c şərtlərinə malikdir (1, 4, 9, 16 və ya 25 kimi) və 2 (√a * √c) bərabər olan bir b bənd (müsbət və ya mənfi)..

Addım 3. Bir problemin həllinin olmadığını öyrənin

Bütün trinomialları faktorlaşdırmaq olmaz. Kvadrat trinomial (balta²+bx+c), cavabı tapmaq üçün kvadratik düsturdan istifadə edin. Yeganə cavab mənfi ədədin kvadrat köküdürsə, həqiqi ədədin həlli yoxdur, onda problemin heç bir amili yoxdur.

Kvadrat olmayan trinomiallar üçün İpuçları bölməsində təsvir edilən Eisenstein Kriteriyasından istifadə edin

Cavablar və Nümunə Suallar

1. "Mürəkkəb faktorinq" suallarına cavablar.

   Bunlar "daha mürəkkəb amillər" addımından gələn suallardır. Problemləri daha asan olanlara sadələşdirdik, buna görə 1 -ci metoddakı addımları istifadə edərək onları həll etməyə çalışın, sonra işinizi burada yoxlayın:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Daha mürəkkəb faktorinq problemlərini sınayın.

   Bu problemlərin hər bir dövrdə eyni faktoru vardır ki, bu da əvvəlcə nəzərə alınmalıdır. İşinizi yoxlamaq üçün cavabları görmək üçün bərabərlik işarəsindən sonra boşluqları bloklayın:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) cavabı görmək üçün boşluğu bloklayın
   • -5x³y²+30x²y²-25y²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Suallardan istifadə edərək məşq edin. Bu problemləri daha asan tənliklərə daxil etmək mümkün deyil, buna görə də sınaq və səhvdən istifadə edərək cavabı (_x + _) (_ x + _) şəklində tapmalı olacaqsınız:

   • 2x²Cavabı görmək üçün+3x-5 = (2x+5) (x-1) bloku
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (İpucu: 9x üçün birdən çox faktor cütünü sınamaq istəyə bilərsiniz.)

   İpuçları

   • Kvadrat üçbucağı (ax²+bx+c), x tapmaq üçün kvadratik düsturdan istifadə edə bilərsiniz.

   • Bunu necə edəcəyinizi bilməyinizə ehtiyac olmasa da, bir polinomun sadələşdirilə bilməyəcəyini tez bir zamanda təyin etmək üçün Eisenstein Kriteriyasından istifadə edə bilərsiniz. Bu meyar hər hansı bir polinom üçün tətbiq olunur, lakin ən yaxşı trinomiallar üçün istifadə olunur. Son iki şərti bərabər şəkildə bölən və aşağıdakı şərtləri yerinə yetirən bir asal ədəd varsa, polinom sadələşdirilə bilməz:

     • Sabit şərtlər (dəyişənlər olmadan) p -nin çoxluqlarıdır, lakin p -nin çoxluqları deyil².
     • Prefiks (məsələn, balta ilə²+bx+c) p -nin çoxluğu deyil.
     • Məsələn, 14x² +45x +51 sadələşdirilə bilməz, çünki həm 45 -ə, həm də 51 -ə bölünə bilən, lakin 14 -ə bölünməyən və 51 -ə 3 -ə bölünməyən bir ədəd (3) var.².

   Xəbərdarlıq

   Bu, kvadratik üçbucaqlar üçün doğru olsa da, faktorlaşdırıla bilən üçlü mütləq iki binomun məhsulu deyil. Məsələn, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).