Kvadrat qrafiki necə çəkmək olar: 10 addım (şəkillərlə)

2024 Müəllif: Jason Gerald | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-02-01 14:11

Qrafik olaraq təqdim edildikdə, kvadratik tənlik formadadır balta² + bx + c və ya a (x - h)² + k U hərfini və ya parabola adlanan ters U əyrisini meydana gətirin. Kvadrat tənliyin qrafikini tərtib etmək, zirvəni, istiqaməti və çox vaxt x və y kəsişməsini axtarır. Kifayət qədər sadə kvadrat tənliklər halında, x dəyərlər toplusunu daxil etmək və nəticədə meydana gələn nöqtələrə əsaslanaraq əyri çəkmək kifayət ola bilər. Başlamaq üçün aşağıdakı 1 -ci addıma baxın.

Addım

Addım 1. Sahib olduğunuz kvadrat tənliyin formasını təyin edin

Kvadrat tənliklər üç fərqli formada yazıla bilər: ümumi forma, zirvə forması və kvadratik forma. Kvadrat tənliyi qrafikləşdirmək üçün hər hansı bir formadan istifadə edə bilərsiniz; hər bir qrafiki təsvir etmək prosesi bir qədər fərqlidir. Ev tapşırığı edirsinizsə, adətən bu iki formadan birində suallar alacaqsınız - başqa sözlə, seçə bilməyəcəksiniz, ona görə də hər ikisini başa düşmək daha yaxşıdır. Kvadrat tənliyin iki forması:

• Ümumi forma.

  Bu formada kvadratik tənlik belə yazılır: f (x) = ax² + bx + c, burada a, b və c həqiqi ədədlərdir və a sıfır deyil.

  Məsələn, ümumi formalı iki kvadrat tənlik f (x) = x -dir² + 2x + 1 və f (x) = 9x² + 10x -8.

• Ən yüksək forma.

  Bu formada, kvadratik tənlik belə yazılır: f (x) = a (x - h)² + k, burada a, h və k həqiqi ədədlərdir və a sıfır deyil. Buna vertex forması deyilir, çünki h və k dərhal parabolanızın zirvəsini (orta nöqtəsini) (h, k) nöqtəsində verəcəkdir.

  İki təpə forması tənliyi f (x) = 9 (x - 4)² + 18 və -3 (x - 5)² + 1

• Hər hansı bir tənliyi qrafikləşdirmək üçün əvvəlcə əyrinin sonundakı (h, k) orta nöqtəsi olan parabolanın zirvəsini tapmalıyıq. Ümumi formada zirvələrin koordinatları belə hesablanır: h = -b/2a və k = f (h), pik formada isə h və k tənlikdədir.

Addım 2. Dəyişənlərinizi müəyyənləşdirin

Kvadrat problemi həll etmək üçün adətən a, b və c (və ya a, h və k) dəyişənlərini təyin etmək lazımdır. Adi bir cəbr problemi, ümumiyyətlə dəyişkən, bəzən isə pik formada mövcud dəyişənlərlə kvadratik bir tənlik verəcəkdir.

• Məsələn, ümumi formalı bir tənlik üçün f (x) = 2x² + 16x + 39, a = 2, b = 16 və c = 39 var.
• Pik forma tənliyi üçün f (x) = 4 (x - 5)² + 12, a = 4, h = 5 və k = 12 var.

Addım 3. h hesablayın

Verteks forması tənliyində h dəyəriniz artıq verilir, lakin ümumi forma tənliyində h dəyəri hesablanmalıdır. Unutmayın ki, ümumi formalı tənliklər üçün h = -b/2a.

• Ümumi formada nümunəmiz (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Həll etdikdən sonra h = olduğunu tapırıq - 4.
• Verteks formamızda nümunə (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), heç bir riyaziyyat etmədən h = 5 olduğunu bilirik.

Addım 4. k hesablayın

H kimi, k artıq pik formasının tənliyində məlumdur. Ümumi formalı tənliklər üçün k = f (h) olduğunu unutmayın. Başqa sözlə, tənliyinizdəki bütün x dəyərlərini yeni tapdığınız h dəyərləri ilə əvəz etməklə k tapa bilərsiniz.

• Ümumi formamızda h = -4 olduğunu artıq təyin etmişik. K -ni tapmaq üçün, h -nin dəyərini x yerinə qoyaraq tənliyimizi həll edirik:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Addım 7.

• Ən yüksək nümunə nümunəmizdə, yenə də heç bir riyaziyyat etmədən k -nin (12 olan) dəyərini bilirik.

Addım 5. Zirvənizi çəkin

Parabolanızın zirvəsi (h, k) nöqtəsidir-h x koordinatını, k isə y koordinatını təmsil edir. Yüksək, parabolanızın orta nöqtəsidir - ya U -nun aşağı hissəsində, ya da ters U -nun yuxarı hissəsində. Zirvələri bilmək dəqiq bir parabola çəkməyin vacib bir hissəsidir - çox vaxt məktəb işində zirvəni təyin etmək bir sualda axtarılan hissədir.

• Ümumi forma nümunəmizdə zirvəmiz (-4, 7) dir. Beləliklə, parabolamız 0 və 7 addım yuxarıda (0, 0) 4 addım sola çatacaq. Bu nöqtəni qrafikimizdə təsvir etməliyik, koordinatları işarələməyə əminik.
• Verteks forması nümunəmizdə, zirvəmiz (5, 12) dir. 5 addım sağda və 12 addım yuxarıda (0, 0) bir nöqtə çəkməliyik.

Addım 6. Parabolanın oxunu çəkin (isteğe bağlı)

Parabolanın simmetriya oxu, ortasından keçən və onu tam ortasına bölən bir xəttdir. Bu oxda parabolanın sol tərəfi sağ tərəfini əks etdirəcək. Ax şəklində olan kvadratik tənliklər üçün² + bx + c və ya a (x - h)² + k, simmetriya oxu y oxuna paralel olan (başqa sözlə tam şaquli) və zirvədən keçən xəttdir.

Ümumi forma nümunəmizdə ox, y oxuna paralel olan və (-4, 7) nöqtəsindən keçən xətdir. Parabolanın bir hissəsi olmasa da, qrafikdə bu xəttin incə işarələnməsi nəticədə parabola əyrisinin simmetrik formasını görməyə kömək edəcək

Addım 7. Parabolanın açılma istiqamətini tapın

Parabolanın zirvəsini və oxunu bildikdən sonra, parabolanın açılıb -açılmadığını öyrənməliyik. Xoşbəxtlikdən, bu asandır. A -nın dəyəri müsbət olarsa, parabola yuxarıya doğru açılacaq, a -nın dəyəri isə mənfi olarsa, parabola aşağıya doğru açılacaq (yəni parabola tərsinə çevriləcək).

• Ümumi forma nümunəmiz üçün (f (x) = 2x² + 16x + 39), açdığımız bir parabolanın olduğunu bilirik, çünki tənliyimizdə a = 2 (müsbət).
• Vertex forma nümunəmiz üçün (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), a = 4 (müsbət) olduğu üçün açılan bir parabolamız olduğunu da bilirik.

Addım 8. Lazım gələrsə, x kəsicisini tapın və çəkin

Tez-tez, məktəb işində, parabolada x parazitini tapmaq tələb olunur (bu, parabolanın x oxuna uyğun gəldiyi bir və ya iki nöqtədir). Birini tapmasanız belə, bu iki nöqtə dəqiq bir parabola çəkmək üçün çox vacibdir. Bununla birlikdə, bütün parabolaların x kəsiyi yoxdur. Parabolanızın açılan bir nöqtəsi varsa və zirvəsi x oxunun üstündədirsə və ya aşağıya doğru açılırsa və x oxunun altındadırsa, parabolada x-kəsmə olmayacaq. Əks təqdirdə, x-interceptinizi aşağıdakı yollardan birində həll edin:

• Yalnız f (x) = 0 olun və tənliyi həll edin. Bu üsul sadə kvadrat tənliklər üçün istifadə edilə bilər, xüsusən də pik formada, lakin mürəkkəb tənliklər üçün çox çətin olacaq. Bir nümunə üçün aşağıya baxın

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Kök (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 və 13 parabolada x-kəsişməsidir.

• Tənlikinizi faktorlayın. Balta şəklində bəzi tənliklər² + bx + c asanlıqla (dx + e) (fx + g) formasına bölünə bilər, burada dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx və e × g = c. Bu halda, x-kəsişmələriniz parantez içərisində hər hansı bir termin təşkil edəcək x dəyərlərdir = 0. Məsələn:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Bu vəziyyətdə, yeganə x -kəsmə -1 -dir, çünki x -i bərabər etmək, mötərizədə hər hansı bir faktor termini 0 -a bərabər edəcək.

• Kvadrat formulundan istifadə edin. X-kəsilməsini asanlıqla həll edə bilmirsinizsə və ya tənliyinizi faktorlaşdıra bilmirsinizsə, bu məqsəd üçün yaradılmış kvadratik bir formula deyilən xüsusi bir tənlikdən istifadə edin. Hələ həll edilməyibsə, tənliyinizi ax axına çevirin² + bx + c, sonra a, b və c daxil edin x = (-b +/- sqrt (b) düsturuna² - 4ac))/2a. Diqqət yetirin ki, bu üsul x dəyərinə görə sizə iki cavab verir, bu da yaxşıdır-bu sadəcə parabolanızın iki x kəsişməsi olduğunu göstərir. Bir nümunə üçün aşağıya baxın:

  • -5x² + 1x + 10 belə kvadratik düstura daxil edilir:
  • x = (-1 +/- Kök (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Kök (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Kök (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) və (-15, 18/-10). Parabolada x-kəsişmə x = -dur - 1, 318 və 1, 518
  • Ümumi forma əvvəlki nümunəmiz, 2x² +16x+39 kvadrat formuluna aşağıdakı kimi qoyulur:
  • x = (-16 +/- Kök (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Kök (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Kök (-56)/-10
  • Mənfi bir ədədin kvadrat kökünü tapmaq mümkün olmadığı üçün bu parabolanın olduğunu bilirik x-intercept yoxdur.

Addım 9. Gerekirse, y-kəsilməsini tapın və çəkin

Tənliklərdə y-kəsilməsini (parabolanın y oxundan keçdiyi nöqtə) axtarmaq çox vaxt lazım olmasa da, xüsusən məktəbdə olsanız, nəticədə onu tapmaq məcburiyyətində qala bilərsiniz. Proses olduqca sadədir-yalnız x = 0 edin, sonra f (x) və ya y üçün tənliyinizi həll edin, bu da parabolanızın y oxundan keçdiyi y dəyərini verir. X-kəsilməsindən fərqli olaraq, müntəzəm bir parabolada yalnız bir y-kəsmə ola bilər. Qeyd-ümumi formalı tənliklər üçün y-kəsişmə y = c səviyyəsindədir.

• Məsələn, kvadrat tənliyimizin 2x olduğunu bilirik² + 16x + 39 y = 39-da y-kəsişməsinə malikdir, lakin bu şəkildə də tapıla bilər:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolanın y-kəsilməsi at y = 39.

    Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, y-kəsmə y = c səviyyəsindədir.

• Verteks tənliyimizin forması 4 (x - 5)² + 12, aşağıdakı şəkildə tapıla bilən bir y-kəsişməsinə malikdir:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12
  • f (x) = 112. Parabolanın y-kəsilməsi at y = 112.

  

  Addım 10. Gerekirse, əlavə nöqtələr çəkin, sonra bir qrafik çəkin

  İndi tənliyinizdə vertex, istiqamət, x-intercept və bəlkə də y-intercept var. Bu mərhələdə, bələdçi olaraq əldə etdiyiniz nöqtələrdən istifadə edərək parabolunuzu çəkməyə cəhd edə bilərsiniz və ya çəkdiyiniz əyrinin daha dəqiq olması üçün parabolunuzu doldurmaq üçün başqa nöqtələr axtara bilərsiniz. Bunu etmək üçün ən asan yol, vertexinizin hər hansı bir tərəfinə x x dəyərlərini daxil etmək, sonra əldə etdiyiniz y dəyərlərini istifadə edərək bu nöqtələri qurmaqdır. Çox vaxt müəllimlər parabolunuzu çəkməzdən əvvəl bir neçə nöqtə axtarmağınızı xahiş edirlər.

  • X tənliyini nəzərdən keçirək² + 2x + 1. X -kəsilməsinin yalnız x = -1 olduğunu bilirik. Döngə yalnız bir nöqtədə x kəsiyinə toxunduğundan, nöqtənin onun x kəsişməsi olduğu qənaətinə gələ bilərik ki, bu da zirvənin (-1, 0) olduğunu göstərir. Bu parabola üçün effektiv olaraq yalnız bir nöqtəmiz var - yaxşı bir parabola çəkmək üçün kifayət deyil. Ətraflı bir qrafik çəkdiyimizdən əmin olmaq üçün başqa məqamlara baxaq.

    • Aşağıdakı x dəyərləri üçün y dəyərlərini tapaq: 0, 1, -2 və -3.
    • 0 üçün: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Fikrimiz budur (0, 1).

    • 1 üçün: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Fikrimiz budur (1, 4).

    • -2 üçün: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Fikrimiz budur (-2, 1).

    • -3 üçün: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Fikrimiz budur (-3, 4).

    • Bu nöqtələri qrafikə çəkin və U şəkilli əyrinizi çəkin. Parabolanın mükəmməl simmetrik olduğuna diqqət yetirin - parabolanın bir tərəfindəki nöqtələriniz tam ədəd olduqda, parabolanın digər tərəfində eyni nöqtəni tapmaq üçün adətən parabolanın simmetriya oxunda müəyyən bir nöqtəni əks etdirmək işini azalda bilərsiniz..

  İpuçları

  • Cəbr müəlliminizin istəyinə görə ədədləri yuvarlaqlaşdırın və ya kəsrlərdən istifadə edin. Bu, kvadrat tənliyi daha yaxşı qrafikləşdirməyə kömək edəcək.
  • Qeyd edək ki, f (x) = ax -da² + bx + c, b və ya c sıfıra bərabərdirsə, bu ədədlər yox olacaq. Məsələn, 12 dəfə² + 0x + 6 12x olur² 0 + 0 olduğu üçün + 6.