Törəmələr, maksimum, minimum, zirvə, çökək və yamac dəyərləri kimi faydalı xüsusiyyətləri əldə etmək üçün istifadə edilə bilər. Qrafik kalkulyatoru olmadan mürəkkəb tənlikləri qrafikləşdirmək üçün də istifadə edə bilərsiniz! Təəssüf ki, törəmələr üzərində işləmək çox vaxt yorucu olur, lakin bu məqalə sizə bəzi məsləhət və fəndlərlə kömək edəcək.
Addım
Addım 1. Alınan işarəni anlayın
Aşağıdakı iki qeyd ən çox istifadə olunur, baxmayaraq ki, bir çoxunu burada Vikipediyada tapa bilərsiniz.
- Leibniz Notation Bu qeyd, tənlik y və x daxil olduqda ən çox istifadə edilən qeyddir. dy/dx hərfi mənada y -nin x -ə görə törəməsi deməkdir. Çox fərqli x və y dəyərləri üçün y/Δx olaraq düşünmək faydalı ola bilər. Bu izahat, törəmə limiti: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/saat. Bu işarəni ikinci törəmə üçün istifadə edərkən yazmalısınız: d2y/dx2.
- Lagrange Notation f funksiyasının törəməsi də f '(x) olaraq yazılır. Bu işarədə f vurğulu x oxunur. Bu qeyd Leibnizin qeydindən daha qısadır və törəmələrə funksiya kimi baxarkən faydalıdır. Daha böyük bir törəmə dərəcəsi yaratmaq üçün 'f' ə əlavə edin, beləliklə ikinci törəmə f '' (x) olacaq.
Addım 2. Törəmənin mənasını və enmə səbəblərini anlayın
Birincisi, xətti bir qrafikin yamacını tapmaq üçün xəttin iki nöqtəsi alınır və onların koordinatları tənliyə daxil edilir (y2 - y1)/(x2 - x1). Ancaq yalnız xətti qrafiklər üçün istifadə edilə bilər. Kvadrat tənliklər və daha yüksəklər üçün xətt bir əyri olacaq, buna görə iki nöqtə arasındakı fərqi tapmaq çox doğru deyil. Bir əyri qrafikində teğetin yamacını tapmaq üçün iki nöqtə alınır və ümumi tənliyə salınaraq əyri qrafikinin yamacını tapın: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx, qrafikin iki nöqtəsindəki iki x koordinatı arasındakı fərq olan delta x deməkdir. Qeyd edək ki, bu tənlik (y2 - y1)/(x2 - x1), yalnız fərqli bir formada. Nəticələrin qeyri -dəqiq olacağı bilindiyindən dolayı yanaşma tətbiq edildi. (X, f (x)) üzərində teğetin yamacını tapmaq üçün, dx 0 -a yaxın olmalıdır ki, iki çəkilmiş nöqtə bir nöqtəyə birləşsin. Bununla birlikdə, 0-u bölə bilməzsiniz, buna görə iki nöqtəli dəyərləri daxil etdikdən sonra, dx-ni tənliyin altından çıxarmaq üçün faktorinq və digər üsullardan istifadə etməli olacaqsınız. Bunu etdikdən sonra dx 0 edin və bitirdiniz. Bu (x, f (x)) üzərində olan teğetin yamacıdır. Bir tənliyin törəməsi, bir qrafikdəki hər hansı bir teğetin meylini tapmaq üçün ümumi tənlikdir. Bu çox mürəkkəb görünə bilər, ancaq törəmənin necə alınacağını izah etməyə kömək edəcək aşağıda bəzi nümunələr var.
Metod 1 /4: Açıq Törəmələr
Addım 1. Tənliyinizdə bir tərəfinizdə y varsa, açıq bir törəmə istifadə edin
Addım 2. Tənliyi [f (x + dx) - f (x)]/dx tənliyinə qoşun
Məsələn, tənlik y = x olarsa2, törəmə [(x + dx) olacaq2 - x2]/dx.
Addım 3. [dx (2x + dx)]/dx tənliyini yaratmaq üçün dx -i genişləndirin və silin
İndi yuxarı və aşağı iki dx tökə bilərsiniz. Nəticə 2x + dx və dx sıfıra yaxınlaşdıqda törəmə 2x olur. Bu o deməkdir ki, y = x qrafikinin hər hansı bir teğetinin meyli2 2xdır. Yamacı tapmaq istədiyiniz nöqtə üçün x dəyərini daxil edin.
Addım 4. Oxşar tənliklər əldə etmək üçün nümunələri öyrənin
Burada bəzi nümunələr var.
- Hər hansı bir göstərici, 1 -dən az gücə qaldırılan dəyərin gücünün dəyəridir. Məsələn, x törəməsi5 5xdır4və x -in törəməsi3, 5 iis3, 5x2, 5. X -in qarşısında artıq bir rəqəm varsa, onu güclə vurun. Məsələn, 3x türevi4 12x -dir3.
- Hər hansı bir sabitin törəməsi sıfırdır. Beləliklə, 8 -in törəməsi 0 -a bərabərdir.
- Cəmin törəməsi müvafiq törəmələrin cəmidir. Məsələn, x -in törəməsi3 + 3x2 3xdir2 + 6x.
- Məhsulun törəməsi, birinci faktorun ikinci faktorunun törəməsi ilə üstəgəl ikinci faktorunun birinci faktorunun törəməsidir. Məsələn, x -in törəməsi3(2x + 1) x -dir3(2) + (2x + 1) 3x2, 8x -ə bərabərdir3 + 3x2.
- Bölmənin (məsələn, f/g) törəməsi [g (f törəməsi) - f (g törəməsi)]/g2. Məsələn, (x2 + 2x - 21)/(x - 3) (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metod 2 /4: Gizli törəmələr
Addım 1. Əgər tənliyiniz bir tərəfdən y ilə yazıla bilməzsə, gizli törəmələrdən istifadə edin
Əslində, bir tərəfə y yazsaydınız, dy/dx hesablamaq yorucu olardı. Bu cür tənliyi necə həll edə biləcəyinizə bir nümunə.
Addım 2. Bu nümunədə x2y + 2y3 = 3x + 2y, y -ni f (x) ilə əvəz edin, beləliklə y -nin əslində bir funksiya olduğunu xatırlayacaqsınız.
Sonra tənlik x olur2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Addım 3. Bu tənliyin törəməsini tapmaq üçün tənliyin hər iki tərəfini x ilə əlaqədar olaraq çıxarmaq lazımdır
Sonra tənlik x olur2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Addım 4. f (x) işarəsini yenidən y ilə əvəz edin
F (x) -dən fərqli olan f '(x) ilə əvəz etməmək üçün diqqətli olun.
Addım 5. f '(x) tapın
Bu nümunənin cavabı (3 - 2xy)/(x2 + 6y2 - 2).
Metod 3 /4: Yüksək Sifariş Törəmələri
Addım 1. Yüksək səviyyəli bir funksiya əldə etmək, törəməni əldə etdiyiniz deməkdir (2 -ci sıraya)
Məsələn, problem sizdən üçüncü sıranı çıxarmağı tələb edirsə, törəmənin törəməsinin törəməsini götürün. Bəzi tənliklər üçün daha yüksək dərəcəli törəmə 0 olacaq.
Metod 4 /4: Zəncir qaydası
Addım 1. Əgər y z -nin diferensial funksiyasıdırsa, z x -in diferensial funksiyasıdırsa, y x -in kompozit funksiyasıdır və y -in x (dy/dx) ilə əlaqədar törəməsi (dy/du)* (du/dx)
Zəncir qaydası eyni zamanda güc tənliklərinin birləşməsi ola bilər: (2x4 - x)3. Törəməni tapmaq üçün onu vurma qaydası kimi düşünün. Tənliyi gücə vurun və 1 -ə endirin. Sonra, gücü artıran mötərizədə olan tənliyin törəməsi ilə tənliyi vurun (bu vəziyyətdə 2x^4 - x). Bu sualın cavabı 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
İpuçları
- Nə vaxt həll etmək çətin bir problem görsəniz, narahat olmayın. Sadəcə vurma, hissə və s. Qaydalarını tətbiq edərək onu mümkün qədər kiçik hissələrə bölməyə çalışın. Sonra hər bir hissəni aşağı salın.
- Çarpma qaydası, hissə qaydası, zəncir qaydası və xüsusən də gizli törəmələr ilə məşq edin, çünki bu qaydalar hesablamada daha çətindir.
- Kalkulyatorunuzu yaxşı anlayın; istifadə etməyi öyrənmək üçün kalkulyatorunuzdakı fərqli funksiyaları sınayın. Mövcud olduqda kalkulyatorunuzda teğet və törəmə funksiyalardan necə istifadə olunacağını bilmək çox faydalıdır.
- Əsas trigonometrik törəmələri və onlardan necə istifadə olunacağını xatırlayın.
