3X3 Matrisinin Determinantını necə təyin etmək olar: 11 addım (şəkillərlə)

2024 Müəllif: Jason Gerald | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-15 08:09

Matrislərin determinantı tez -tez hesab, xətti cəbr və həndəsədə daha yüksək səviyyədə istifadə olunur. Akademiya xaricində, kompüter qrafikası mühəndisləri və proqramçıları hər zaman matrislərdən və onların determinantlarından istifadə edirlər. 2x2 nizamlı bir matrisin determinantını necə təyin edəcəyinizi artıq bilirsinizsə, 3x3 sıralı bir matrisin determinantını təyin etmək üçün nə vaxt toplama, çıxma və zaman istifadə etməyi öyrənməlisiniz.

Addım

2 -dən 1 -ci hissə: Determinantların müəyyən edilməsi

3 x 3 sifariş matrisinizi yazın. 3x3 sıralı A matrisi ilə başlayacağıq və determinantı | A | tapmağa çalışacağıq. Aşağıda istifadə edəcəyimiz matris notasiyasının ümumi forması və matrisimizin nümunəsi:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Addım 1. Bir satır və ya sütun seçin

Seçiminizi istinad sətri və ya sütunu edin. Hansını seçsən də yenə eyni cavabı alacaqsan. Müvəqqəti olaraq ilk sıranı seçin. Növbəti hissədə hesablanması asan olan seçimi seçmək üçün sizə bəzi təkliflər verəcəyik.

Nümunə matrisinin birinci cərgəsini seçin. 1 5 rəqəmini dairə edin 3. Ümumi işarədə a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Addım 2. İlk elementinizin satırını və sütununu kəsin

Dairə etdiyiniz sətirə və ya sütuna baxın və birinci elementi seçin. Satırları və sütunları kəsin. Toxunulmamış yalnız 4 ədəd qalacaq. Bu 4 rəqəmi 2 x 2 sıralı bir matris halına gətirin.

• Bizim nümunəmizdə istinad sətrimiz 1 5 3. İlk element 1 -ci sırada və 1 -ci sütundadır. Bütün 1 -ci sıra və 1 -ci sütunu kəsin. Qalan elementləri 2 x 2 matrisə yazın:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Addım 3. 2 x 2 sifariş matrisinin determinantını təyin edin

Unutmayın, matrisin determinantını təyin edin [^{a_c b_d] tərəfindən reklam - e.ə. 2 x 2 matris arasında X çəkərək matrisin determinantını təyin etməyi də öyrənmiş ola bilərsiniz. X xətti ilə bağlı olan iki ədədi vurun. Sonra, xəttin qoşduğu iki ədədin sayını çıxın / var. 2 x 2 matrisin determinantını hesablamaq üçün bu düsturdan istifadə edin.}

• Misalda, matrisin determinantı [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Bu determinant adlanır azyaşlı ilkin matrisdə seçdiyiniz elementlərdən. Bu vəziyyətdə, a -nın azyaşlısını tapdıq₁₁.

Addım 4. Seçdiyiniz element tərəfindən tapılan sayını vurun

Unutmayın, hansı sətirləri və sütunları çıxarmağa qərar verdiyiniz zaman istinad satırından (və ya sütundan) elementlər seçmişsiniz. Bu elementi tapdığınız 2 x 2 matrisin determinantı ilə vurun.

Nümunədə, a seçirik₁₁ 1. Bu rəqəmi -34 (2 x 2 matrisinin determinantı) ilə vuraraq 1*-34 = - 34.

Addım 5. Cavabınızın simvolunu təyin edin

Növbəti addım, cavab almaq üçün 1 və ya -1 ilə çarpmaqdır kofaktor seçdiyiniz elementdən. İstifadə etdiyiniz simvol elementlərin 3 x 3 matrisindəki yerindən asılıdır. Unutmayın ki, bu simvol cədvəli elementinizin çarpanını təyin etmək üçün istifadə olunur:

• + - +
• - + -
• + - +
• Çünki a seçirik₁₁ +ilə işarələnmiş sayını +1 ilə vuracağıq (və ya başqa sözlə dəyişməyin). Görünən cavab eyni olacaq, yəni - 34.
• Bir simvolu təyin etməyin başqa bir yolu (-1) düsturundan istifadə etməkdir. ^{i+j burada i və j satır və sütun elementləridir.}

Addım 6. Bu prosesi istinad sətrinizdə və ya sütununuzdakı ikinci element üçün təkrarlayın

Satır və ya sütunu əvvəlcədən yuvarlaqlaşdırdığınız orijinal 3 x 3 matrisə qayıdın. Elementlə eyni prosesi təkrarlayın:

• Elementin satırını və sütununu kəsin.

  Bu vəziyyətdə a elementini seçin₁₂ (5 -ə dəyər). 1 -ci sıranı (1 5 3) və 2 -ci sütunu (5 4 6) kəsin.

• Qalan elementləri 2x2 matrisə çevirin.

  Misalımızda, ikinci element üçün 2x2 sifariş matrisi [²₄ ⁷₂].

• Bu 2x2 matrisin determinantını təyin edin.

  Reklam - bc düsturundan istifadə edin. (2*2 - 7*4 = -24)

• Seçdiyiniz 3x3 matrisin elementləri ilə vurun.

  -24 * 5 = -120

• Yuxarıdakı nəticəni -1 ilə vurub -vurmamağa qərar verin.

  Simvollar və ya düsturlar cədvəlindən istifadə edin (-1)^ij. A elementini seçin₁₂ simvolizə olunur - simvol cədvəlində. Cavab simvolu ilə əvəz edin: (-1)*(-120) = 120.

Addım 7. Üçüncü element üçün eyni prosesi təkrarlayın

Determinantı müəyyən etmək üçün daha bir kofaktorunuz var. İstinad satırınızdakı və ya sütununuzdakı üçüncü element üçün i sayın. Burada cofactor a hesablamaq üçün sürətli bir yoldur₁₃ nümunəmizdə:

• Almaq üçün 1 -ci sıranı və 3 -cü sütunu kəsin [²₄ ⁴₆].
• Determinant 2*6 - 4*4 = -4 olur.
• A elementi ilə vurun₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ simvol cədvəlində simvol +, buna görə cavab belədir - 12.

Addım 8. Üç sayınızın nəticələrini əlavə edin

Bu, son addımdır. Bir satırda və ya sütunda hər bir element üçün bir olmaqla üç kofaktoru hesablamısınız. Bu nəticələri əlavə edin və 3 x 3 matrisin determinantını tapacaqsınız.

Misalda matrisin determinantıdır - 34 + 120 + - 12 = 74.

2 -ci hissə 2: Problemi daha asan həll etmək

Addım 1. Ən çox 0 -ə malik olan istinadlar sətirini və ya sütununu seçin

Unutmayın, istədiyiniz sətir və ya sütunu seçə bilərsiniz. Hansını seçsən də cavab eyni olacaq. 0 rəqəmi olan bir satır və ya sütun seçsəniz, yalnız 0 olmayan elementləri olan kofaktoru hesablamalısınız, çünki:

• Məsələn, a elementi olan 2 -ci sıranı seçin₂₁, a₂₂, Fond₂₃. Bu problemi həll etmək üçün 3 fərqli 2 x 2 matrisdən istifadə edəcəyik₂₁, A₂₂, Sən₂₃.
• 3x3 matrisinin determinantı a₂₁| A.₂₁| - a₂₂| A.₂₂| + a₂₃| A.₂₃|.
• Əgər a₂₂ Fond₂₃ dəyər 0, mövcud düstur a olacaq₂₁| A.₂₁| - 0*| A.₂₂| + 0*| A.₂₃| = a₂₁| A.₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A.₂₁|. Buna görə yalnız bir elementin kofaktorunu hesablayacağıq.

Addım 2. Matris problemlərini asanlaşdırmaq üçün əlavə sətirlərdən istifadə edin

Dəyərləri bir cərgədən götürüb başqa sətrə əlavə etsəniz, matrisin determinantı dəyişməyəcək. Eyni şey sütunlar üçün də keçərlidir. Mümkün olduğunca çox 0 əldə etmək üçün əlavə etməzdən əvvəl bunu dəfələrlə edə bilərsiniz və ya sabitlə vura bilərsiniz. Bu çox vaxta qənaət edə bilər.

• Məsələn, 3 satırlı bir matrisiniz var: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• A mövqeyində olan 9 rəqəmini aradan qaldırmaq üçün₁₁, 2 -ci cərgədəki dəyəri -3 ilə vurub nəticəni birinci sıraya əlavə edə bilərsiniz. İndi yeni birinci sətir [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2] dir.
• Yeni matrisdə [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2] sətirləri var. Sütunlarda eyni hiylədən istifadə edin₁₂ 0 sayı olsun.

Addım 3. Üçbucaqlı matrislər üçün sürətli metoddan istifadə edin

Bu xüsusi vəziyyətdə, determinant əsas diaqonaldakı elementlərin məhsuludur₁₁ sol üst hissədə a₃₃ matrisin sağ alt hissəsində. Bu matris yenə də 3x3 matrisidir, lakin "üçbucaq" matrisində 0 olmayan xüsusi ədəd nümunələri vardır:

• Üst üçbucaqlı matris: 0 olmayan bütün elementlər əsas diaqonalın üstündə və ya üstündədir. Əsas diaqonalın altındakı bütün ədədlər 0 -dır.
• Alt üçbucaqlı matris: 0 olmayan bütün elementlər əsas diaqonalın üstündə və ya altındadır.
• Çapraz matris: 0 olmayan bütün elementlər əsas diaqonaldadır (yuxarıdakı matris növlərinin alt dəsti).

İpuçları

• Bir satırdakı və ya sütundakı bütün elementlər 0 olarsa, matrisin determinantı 0 -dır.
• Bu üsul bütün kvadratik matrislər üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, bu metodu 4x4 sifariş matrisi üçün istifadə edirsinizsə, "tətiliniz" yuxarıdakı addımları izləyərək determinantı müəyyən edilə bilən 3x3 sıralı bir matris buraxacaq. Unutma ki, bunu etmək cansıxıcı ola bilər!