Kalkulyatorların icad edilməsindən əvvəlki günlərdə tələbələr və professorlar kvadrat kökləri əl ilə hesablamalı idilər. Bu çətin prosesi dəf etmək üçün bir çox fərqli yollar hazırlanmışdır. Bəzi yollar kobud bir qiymətləndirmə verir, digərləri dəqiq bir dəyər verir. Sadə əməliyyatlardan istifadə edərək bir ədədin kvadrat kökünü necə tapacağınızı öyrənmək üçün başlamaq üçün aşağıdakı 1 -ci addıma baxın.
Addım
Metod 1 /2: Prime Factorization istifadə
Addım 1. Nömrənizi mükəmməl kvadrat faktorlara bölün
Bu üsul nömrənin kvadrat kökünü tapmaq üçün bir ədədin faktorlarından istifadə edir (sayından asılı olaraq cavab dəqiq bir rəqəm və ya yaxın bir təxmini ola bilər). Bir ədədin faktorları, vurulduqda bu rəqəmi verən digər ədədlər toplusudur. Məsələn, 8 faktorlarının 2 və 4 olduğunu söyləyə bilərsiniz, çünki 2 × 4 = 8. Eyni zamanda, mükəmməl kvadratlar digər ədədlərin məhsulu olan ədədlərdir. Məsələn, 25, 36 və 49 sırasıyla 5 olduğu üçün mükəmməl kvadratlardır2, 62və 72. Güman etdiyiniz kimi, mükəmməl kvadrat faktorları da mükəmməl kvadratlar olan amillərdir. Kvadrat kökü əsas faktorlaşdırma yolu ilə tapmağa başlamaq üçün əvvəlcə nömrənizi mükəmməl kvadrat faktorlarına qədər sadələşdirməyə çalışın.
- Bir nümunə istifadə edək. 400 -ün kvadrat kökünü əl ilə tapmaq istəyirik. Başlamaq üçün sayını mükəmməl kvadrat faktorlarına böləcəyik. 400 100 -ün çoxluğu olduğu üçün 400 -ün 25 -ə bölündüyünü bilirik - mükəmməl bir kvadrat. Kölgələrin sürətli bölünməsi ilə 400 -ün 25 -ə bölündüyü 16 -ya bərabər olduğunu görürük. Təsadüfən 16 da mükəmməl bir kvadratdır. Beləliklə, 400 -ün mükəmməl kvadrat faktorları var 25 və 16 çünki 25 × 16 = 400.
- Bunu belə yaza bilərik: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Addım 2. Mükəmməl kvadrat faktorlarınızın kvadrat kökünü tapın
Kvadrat kökünün vurma xüsusiyyəti, hər hansı bir a və b sayı üçün Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b) olduğunu bildirir. Bu xüsusiyyətə görə, indi mükəmməl kvadrat faktorlarımızın kvadrat kökünü tapıb cavabımızı almaq üçün onları çoxalda bilərik.
-
Misalımızda 25 və 16 kvadrat köklərini tapacağıq. Aşağıya baxın:
- Kök (25 × 16)
- Kök (25) × Kök (16)
-
5 × 4 =
Addım 20.
Addım 3. Nömrənizi mükəmməl faktorlaşdırmaq mümkün deyilsə, cavabınızı ən sadə formaya sadələşdirin
Real həyatda, çox vaxt kökünün kvadrat kökünü tapmaq üçün lazım olan ədədlər, 400 kimi açıq mükəmməl kvadrat faktorları olan xoş ədədlər deyil. Bu hallarda, doğru cavabı tapa bilməməliyik. Bir bütün olaraq. Ancaq tapa biləcəyiniz qədər mükəmməl kvadrat faktor taparaq cavabı daha kiçik, daha sadə və hesablanması daha asan olan bir kvadrat kök şəklində tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün nömrənizi mükəmməl kvadrat faktorları və qeyri -kamil kvadrat faktorlarının birləşməsinə endirin, sonra sadələşdirin.
-
Nümunə olaraq 147 kvadrat kökündən istifadə edək. 147 iki mükəmməl kvadratın məhsulu deyil, buna görə də yuxarıdakı kimi tam ədəd əldə edə bilmirik. Ancaq 147 bir mükəmməl kvadratın və başqa bir rəqəmin məhsuludur - 49 və 3. Bu məlumatdan istifadə edərək cavabımızı ən sadə formada yaza bilərik:
- Kök (147)
- = Kök (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Meydan (3)
- = 7 × Kök (3)
Addım 4. Lazım gələrsə, qiymətləndirin
Kvadrat kökünüzün ən sadə formasında, qalan kvadrat kökün dəyərini təxmin edərək və onu vuraraq, sayının cavabını kobud bir şəkildə qiymətləndirmək olduqca asandır. Təxminlərinizi istiqamətləndirməyin bir yolu, kvadrat kökünüzdəki sayından daha böyük və daha az olan mükəmməl kvadratlar axtarmaqdır. Kvadrat kökünüzdəki ədədin ondalık dəyərinin iki ədəd arasında olduğunu görəcəksiniz, buna görə də iki ədəd arasındakı dəyəri təxmin edə bilərsiniz.
-
Nümunəmizə qayıdaq. çünki 22 = 4 və 12 = 1, bilirik ki, Kök (3) 1 ilə 2 arasındadır - yəqin ki, 1 -dən 2 -yə yaxındır. 1, 7 -ni qiymətləndiririk. 7 × 1, 7 = 11, 9. Cavabımızı kalkulyatorda yoxlasaq, cavabımızın həqiqi cavaba olduqca yaxın olduğunu görə bilərik 12, 13.
Bu daha böyük rəqəmlərə də aiddir. Məsələn, Kök (35) 5 ilə 6 arasında ola bilər (bəlkə də 6 -ya yaxın). 52 = 25 və 62 = 36. 35 25 ilə 36 arasındadır, buna görə kvadrat kökü 5 ilə 6 arasında olmalıdır. 35 36 -dan cəmi bir az olduğundan əminliklə deyə bilərik ki, kvadrat kök 6 -dan bir qədər azdır. bizə cavab verin təxminən 5, 92 - biz haqlıyıq.
Addım 5. Alternativ olaraq, ilk addım olaraq sayınızı ən az ümumi faktorlara endirin
Bir ədədin əsas faktorlarını asanlıqla təyin edə bilsəniz, mükəmməl kvadratların faktorlarını tapmaq lazım deyil (eyni zamanda sadə ədədlər də). Nömrənizi ən az yayılmış amillər baxımından yazın. Sonra, faktorlarınıza uyğun gələn cüt ədədləri tapın. Eyni iki əsas faktor tapdığınızda, bu iki rəqəmi kvadrat kökündən çıxarın və bu ədədlərdən birini kvadrat kökündən kənarda qoyun.
-
Məsələn, bu üsuldan istifadə edərək 45 -in kvadrat kökünü tapın. 45 × 5 olduğunu bilirik və 9 = 3 × 3 altında bilirik. Beləliklə, kvadrat kökümüzü bu kimi faktorlar baxımından yaza bilərik: Sqrt (3 × 3 × 5). Kare kökünüzü ən sadə formada sadələşdirmək üçün hər ikisini də çıxarın və birini 3 -ü kvadrat kökün kənarına qoyun: (3) Kök (5).
Buradan təxmin etmək asan olacaq.
-
Son bir problem olaraq 88 -in kvadrat kökünü tapmağa çalışaq:
- Kök (88)
- = Kök (2 × 44)
- = Kök (2 × 4 × 11)
- = Kök (2 × 2 × 2 × 11). Kvadrat kökümüzdə 2 ədəd var. 2 əsas ədəd olduğu üçün bir cüt 2 silmək və birini kvadrat kökündən kənarda qoymaq olar.
-
= Kvadrat kökümüz ən sadə formada (2) Sqrt (2 × 11) və ya (2) Kök (2) Kök (11).
Buradan Sqrt (2) və Sqrt (11) hesablaya bilərik və təxmini cavabı istədiyimiz kimi tapa bilərik.
Metod 2 /2: Kvadrat Kökü Əllə Tapın
Uzun Bölmə Alqoritmindən istifadə
Addım 1. Nömrənizin rəqəmlərini cütlərə ayırın
Bu üsul, həqiqi kvadrat kök rəqəmini rəqəmlə tapmaq üçün uzun bölünməyə bənzər bir prosesdən istifadə edir. Vacib olmasa da, iş yerinizi və nömrələrinizi iş üçün asan olan hissələrə əyani şəkildə təşkil etsəniz, bu prosesi həyata keçirməyi daha asan tapa bilərsiniz. Əvvəlcə iş sahənizi iki hissəyə bölən şaquli bir xətt çəkin, sonra sağ hissəni kiçik bir üst hissəyə və daha böyük bir alt hissəyə bölmək üçün yuxarı sağa yaxın daha qısa bir üfüqi xətt çəkin. Sonra rəqəmlərinizi ondalık nöqtədən başlayaraq cütlərə ayırın. Məsələn, bu qaydanın ardınca 79.520.789.182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70" olur. Sol üst nömrənizi yazın.
Məsələn, 780, 14 kvadrat kökünü hesablamağa çalışaq ki, iş yerinizi yuxarıdakı kimi bölmək üçün iki sətir çəkin və yuxarı sola "7 80. 14" yazın. Ən sol nömrənin bir ədəd deyil, tək ədəd olması önəmli deyil. Cavabınızı (kvadrat kök 780, 14) sağ üstə yazacaqsınız
Addım 2. Kvadrat dəyəri ən soldakı rəqəmdən (və ya ədəd cütündən) az və ya bərabər olan ən böyük tamsayı tapın
Nömrənizin ən solundan başlayın, həm ədəd cütləri, həm də tək ədədlər. Bu saydan az və ya ona bərabər olan ən böyük mükəmməl kvadratı tapın, sonra bu mükəmməl kvadratın kvadrat kökünü tapın. Bu rəqəm n -dir. Sağ üstdə n yazın və sağ alt kadranda n kvadratını yazın.
Bizim nümunəmizdə ən sol 7 nömrəsidir. Çünki 2 olduğunu bilirik2 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, n = 2 deyə bilərik, çünki 2 kvadrat dəyəri 7 -dən az və ya ona bərabər olan ən böyük tam ədəddir. Sağ üst kadranda 2 yazın. Bu cavabımızın ilk rəqəmidir. Sağ alt kadranda 4 (2 -nin kvadrat dəyəri) yazın. Bu rəqəm növbəti addım üçün vacibdir.
Addım 3. Sol tərəfdəki cütlükdən yeni hesabladığınız nömrəni çıxarın
Uzun bölünmədə olduğu kimi, növbəti addım da yeni tapdığımız kvadratın dəyərini yeni təhlil etdiyimiz hissədən çıxarmaqdır. Bu nömrəni birinci hissənin altına yazın və cavabını altına yazaraq çıxart.
-
Misalımızda, 7 -nin altında 4 yazacağıq, sonra çıxardacağıq. Bu çıxarma bir cavab verir
Addım 3..
Addım 4. Növbəti cütü buraxın
Kvadrat kökü axtardığınız nömrənin növbəti hissəsini, yeni tapdığınız çıxma dəyərinin yanından aşağıya keçin. Sonra sağ üst kadrandakı sayını ikiyə vurun və cavabı sağ alt kadrana yazın. Yazdığınız nömrənin yanında, '"_ × _ ="' yazaraq növbəti addımda edəcəyiniz vurma problemi üçün yer buraxın.
Misalımızda, nömrələrimizin növbəti cütü "80" dir. Sol kadranda 3 -ün yanına "80" yazın. Sonra sağ üstdəki sayını ikiyə vurun. Bu rəqəm 2 -dir, buna görə 2 × 2 = 4. Sağ alt kadranda "'4" yazın və ardınca _×_=.
Addım 5. Boşluqları sağ kadranda doldurun
Doğru kadranda yazdığınız bütün boşluqları eyni ədədlə doldurmalısınız. Bu tam ədəd, sağ kvadrantdakı məhsulu hal -hazırda soldakı saydan az və ya bərabər edən ən böyük tam ədəd olmalıdır.
Misalımızda boşluqları 8 ilə doldururuq, nəticədə 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 olur. Bu dəyər 384 -dən böyükdür. Beləliklə, 8 çox böyükdür, amma 7 işləyə bilər. Boşluqlara 7 yazın və həll edin: 4 (7) × 7 = 329. 7 doğru rəqəmdir, çünki 329 380 -dən azdır. 7 -ni sağ üst kadrana yazın. Bu, 780, 14 kvadrat kökündəki ikinci rəqəmdir
Addım 6. İndi hesabladığınız nömrəni indi soldakı rəqəmdən çıxarın
Uzun bölmə metodundan istifadə edərək çıxma zəncirinə davam edin. Aşağıdakı cavablarınızı yazarkən problemin məhsulunu sağ kadranda götürün və indi soldakı rəqəmdən çıxarın.
Nümunəmizdə nəticə verən 380 -dən 329 -u çıxacağıq 51.
Addım 7. 4 -cü addımı təkrarlayın
Kvadrat kökü axtardığınız nömrənin növbəti hissəsini çıxarın. Nömrənizdəki ondalık nöqtəyə çatdığınız zaman, cavabınızda ondalık nöqtəni sağ üst kadrana yazın. Sonra sağ üstdəki sayını 2 ilə vurun və yuxarıdakı kimi boş vurma probleminin yanına ("_ × _") yazın.
Örnəyimizdə, indi 780, 14 -də ondalık nöqtəsi ilə məşğul olduğumuz üçün, yuxarı sağdakı cari cavabımızdan sonra ondalık nöqtəni yazın. Sonra, sol cütlükdəki növbəti cütü (14) aşağı salın. İki dəfə sağ üstdəki (27) sayı 54 -ə bərabərdir, buna görə sağ alt kadrana "54 _ × _ =" yazın
Addım 8. 5 və 6 -cı addımları təkrarlayın
Sağdakı boşluqları doldurmaq üçün ən böyük rəqəmi tapın, bu cavab hazırda solda olan rəqəmdən az və ya ona bərabərdir. Sonra, problemi həll edin.
Bizim nümunəmizdə 549 × 9 = 4941, bu soldakı rəqəmdən (5114) azdır. 549 × 10 = 5490 çox böyükdür, buna görə 9 cavabınızdır. Sağ üst kadranda növbəti rəqəm olaraq 9 yazın və məhsulu soldakı rəqəmdən çıxarın: 5114 mənfi 4941 173 -ə bərabərdir
Addım 9. Rəqəmləri saymağa davam etmək üçün soldakı sıfırları aşağı salın və 4, 5 və 6 -cı addımları təkrarlayın
Daha dəqiq olmaq üçün cavabınızda yüzlərlə, minlərlə və daha çox yer tapmaq üçün bu prosesi davam etdirin. İstədiyiniz onluq yeri tapana qədər bu dövrəni istifadə etməyə davam edin.
Prosesi Anlamaq
Addım 1. Kvadrat kökünü bir kvadratın S sahəsi olaraq hesabladığınız rəqəmi düşünün
Bir kvadratın sahəsi P olduğu üçün2 burada P tərəflərdən birinin uzunluğudur, sonra nömrənizin kvadrat kökünü tapmağa çalışaraq əslində kvadratın o tərəfinin P uzunluğunu hesablamağa çalışırsınız.
Addım 2. Cavabınızın hər bir rəqəmi üçün hərf dəyişənlərini təyin edin
A dəyişənini P -nin ilk rəqəmi olaraq təyin edin (hesablamağa çalışdığımız kvadrat kök). B ikinci rəqəm, C üçüncü rəqəm və s.
Addım 3. Başlanğıc nömrənizin hər bir hissəsi üçün hərf dəyişənlərini təyin edin
S dəyişənini təyin edina S -də ilk rəqəm cütü üçün (ilkin dəyəriniz), Sb ikinci cüt cüt üçün və s.
Addım 4. Bu üsulla uzun bölünmə arasındakı əlaqəni anlayın
Kvadrat kökü tapmağın bu üsulu, ilk nömrənizi kvadrat kökünə bölən və cavabın kvadrat kökünü verən uzun bir bölmə problemidir. Uzun bölmə problemində olduğu kimi, hər addımda yalnız növbəti rəqəmlə maraqlanırsınız. Bu şəkildə, hər bir addımdakı növbəti iki rəqəmlə maraqlanırsınız (bu, kvadrat kök üçün hər addımdakı növbəti rəqəmdir).
Addım 5. Kvadrat dəyəri S -dən az və ya ona bərabər olan ən böyük rəqəmi tapına.
Cavabımızda A -nın ilk rəqəmi, kvadrat dəyəri S -ni keçməyən ən böyük tam ədəddira (yəni A belə A² Sa <(A+1) ²). Bizim nümunəmizdə S.a = 7 və 2² 7 <3², beləliklə A = 2.
Diqqət edin, məsələn, uzun bölmə istifadə edərək 88962 -ni 7 -yə bölmək istəsəniz, ilk addımlar demək olar ki, eynidır: 88962 -nin ilk rəqəmini (8 olan) görürsünüz və ən böyük rəqəmi axtarırsınız 7 ilə vurulduqda, 8 -dən az və ya bərabərdir. Əsasən, d -ni axtarırsınız ki, 7 × d 8 <7 × (d+1) olsun. Bu vəziyyətdə d 1 -ə bərabər olacaq
Addım 6. Sahəsində işləməyə başlayacağınız kvadratın dəyərini düşünün
Cavabınız, başlanğıc nömrənizin kvadrat kökü, S sahəsi (başlanğıc nömrəniz) olan kvadratın uzunluğunu təsvir edən P -dir. A, B, C qiymətləriniz P dəyərindəki rəqəmləri təmsil edir. Bunu söyləməyin başqa bir yolu 10A + B = P (iki rəqəmli cavab üçün), 100A + 10B + C = P (üç rəqəm cavab) və s.
Bizim nümunədə, (10A+B) ² = S2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Unutmayın ki, 10A+B B mövqeyini B mövqeyində və A mövqeyində onluğa cavab olaraq P cavabımızı təmsil edir. Məsələn, A = 1 və B = 2 ilə 10A+B 12 -ə bərabərdir. (10A+B) ² isə, meydanın ümumi sahəsidir 100A² ən böyük meydanın sahəsidir, B² ən kiçik kvadratın sahəsidir və 10A × B qalan iki düzbucaqlının sahəsidir. Bu uzun və qarışıq prosesi edərək, içərisindəki kvadratların və düzbucaqlıların sahələrini əlavə edərək bir kvadratın ümumi sahəsini tapırıq.
Addım 7. S -dən A² çıxarına.
Bir cüt rəqəmi azaldın (S.b) of S. S dəyəria Sb daha böyük daxili kvadrat çıxarmaq üçün istifadə etdiyiniz meydanın ümumi sahəsinə yaxındır. Qalanları 4 -cü addımda aldığımız N1 sayı kimi düşünmək olar (nümunəmizdə N1 = 380). N1 2 və dəfə bərabərdir: 10A × B + B² (iki düzbucağın sahəsi və daha kiçik kvadratın sahəsi).
Addım 8. N1 = (2 × 10A + B) × B olaraq da yazılan N1 = 2 × 10A × B + B² tapın
Nümunəmizdə N1 (380) və A (2) ni artıq bilirsiniz, buna görə də B. B -ni tapmalısınız, çox güman ki, tam ədəd deyil, buna görə də həqiqətən də ən böyük B ədədini tapmalısınız (2 × 10A + B) × B N1. Beləliklə var: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Addım 9. Bitirin
Bu tənliyi həll etmək üçün A -nı 2 -yə vurun, nəticəni onlarla mövqeyə (10 -a vurmanın ekvivalenti) köçürün, B -ni bir yerə qoyun və sayını B -ə vurun. Başqa sözlə həll edin (2 × 10A + B) × B. 4 -cü addımda sağ alt kadranda "N_ × _ =" (N = 2 × A ilə) yazdığınız zaman etdiyiniz iş budur. 5 -ci addımda B -yə uyğun gələn ən böyük tamsayı tapırsınız. aşağıda göstərilən rəqəm (2 × 10A + B) × B N1.
Addım 10. Ümumi sahədən (2 × 10A + B) × B sahəsini çıxarın
Bu çıxma, hesablanmamış S- (10A+B) ² sahəsi ilə nəticələnir (və növbəti rəqəmi eyni şəkildə hesablamaq üçün istifadə ediləcək).
Addım 11. Növbəti rəqəmi C hesablamaq üçün prosesi təkrarlayın
Növbəti cütü aşağı salın (S.c) N-ni solda almaq üçün ən böyük C-ni tapın (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (iki rəqəmli "AB" rəqəmini iki dəfə yazmağa bərabərdir) "_ × _ =". Boşluqlarda əvvəlki kimi N2 -dən az və ya ona cavab verən ən böyük uyğun rəqəmi tapın.
İpuçları
- Ondalık nöqtəni bir ədəddə iki rəqəmin çoxluğuna (100 -ə çoxluğa) köçürmək, ondalık nöqtəni kvadrat kökündəki bir rəqəmin çoxluğuna (10 -un çoxluğu) köçürmək deməkdir.
- Bu nümunədə 1.73 "qalıq" sayıla bilər: 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
- Bu üsul yalnız baza 10 (ondalık) üçün deyil, hər hansı bir baza üçün istifadə edilə bilər.
- Özünüz üçün daha əlverişli hesablamalardan istifadə edə bilərsiniz. Bəzi insanlar nəticəni ilkin rəqəmin üstünə yazırlar.
- Təkrar kəsrlərdən istifadə etməyin alternativ yolu bu düsturu izləməkdir: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Məsələn, 780, 14 kvadrat kökünü hesablamaq üçün, kvadrat dəyəri 780, 14-ə ən yaxın olan tam ədəd 28-dir, buna görə z = 780, 14, x = 28 və y = -3, 86. Dəyərlərin daxil edilməsi və yalnız x + y/(2x) üçün təxminlərin hesablanması (ən sadə mənada) 78207/20800 və ya təxminən 27, 931 (1); növbəti dövr, 4374188/156607 və ya təxminən 27, 930986 (5). Hər bir müddət, əvvəlki onluq yer sayının doğruluğuna təxminən 3 ondalık kəsir əlavə edir.
