Bir polinom, dərəcəsi olaraq bilinən bir gücə malik bir dəyişən (x) və bir neçə şərt və/və ya sabitdən ibarətdir. Bir polinomu hesablamaq, tənliyi çoxaltmaq mümkün olan daha sadə tənliklərə bölmək deməkdir. Bu bacarıq Cəbr 1 və yuxarıdadır və riyazi bacarıqlarınız bu səviyyədə deyilsə, başa düşmək çətin ola bilər.
Addım
Başlamaq
Addım 1. Tənlikinizi qurun
Kvadrat tənliyin standart formatı belədir:
balta2 + bx + c = 0
Tənlikdəki şərtləri ən yüksək gücdən ən aşağı gücə qədər sıralamaqla başlayın, eynilə bu standart formatda olduğu kimi. Misal üçün:
6 + 6x2 + 13x = 0
Bu tənliyi yenidən sıralayacağıq ki, şərtləri köçürərək işləmək daha asan olsun:
6x2 + 13x + 6 = 0
Addım 2. Aşağıdakı metodlardan birini istifadə edərək forma faktorunu tapın
Polinomu faktorlaşdırmaq, orijinal polinomu çıxarmaq üçün vurula bilən daha sadə iki tənlik ilə nəticələnir:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Bu nümunədə, (2x + 3) və (3x + 2), orijinal tənliyin faktorlarıdır, 6x2 +13x+6.
Addım 3. İşinizi yoxlayın
Əlinizdə olan faktorları çoxaldın. Sonra şərtləri birləşdirin və işiniz bitdi. Başlayın:
(2x + 3) (3x + 2)
PLDT (əvvəlcə - xaricdə - içərisində - son) istifadə edərək şərtləri vurmağa çalışaq:
6x2 + 4x + 9x + 6
Buradan 4x və 9x əlavə edə bilərik, çünki bunlar terminlər kimidir. Faktorlarımızın doğru olduğunu bilirik, çünki orijinal tənliyimizi alırıq:
6x2 + 13x + 6
Metod 1 -dən 6: sınaq və səhv
Kifayət qədər sadə bir polinomunuz varsa, faktorları yalnız onlara baxaraq özünüz tapa bilərsiniz. Məsələn, təcrübədən sonra bir çox riyaziyyatçı 4x tənliyinin olduğunu anlaya bilər2 + 4x + 1 tez -tez baxaraq (2x + 1) və (2x + 1) faktoruna malikdir. (Əlbəttə ki, daha mürəkkəb polinomlar üçün asan olmayacaq). Bu nümunə üçün daha az istifadə olunan tənliyi istifadə edək:
3x2 + 2x - 8
Addım 1. a və c termini faktorlarının siyahısını yazın
Balta tənliyi formatından istifadə2 + bx + c = 0, a və c terminlərini müəyyənləşdirin və hər iki terminin malik olduğu faktorları yazın. 3x üçün2 + 2x - 8, mənası:
a = 3 və bir sıra amillərə malikdir: 1 * 3
c = -8 və dörd amil dəstinə malikdir: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 və -1 * 8.
Addım 2. Boşluqları olan iki mötərizə dəsti yazın
Yaratdığınız boşluqları hər bir tənlik üçün sabitlərlə dolduracaqsınız:
(x) (x)
Addım 3. a -nın dəyəri üçün mümkün cüt amillərlə x -in qarşısındakı boşluqları doldurun
Misalımızdakı a termini üçün 3x2, nümunəmiz üçün yalnız bir ehtimal var:
(3x) (1x)
Addım 4. Sabit üçün x faktorlarından sonra x -dən sonra iki boşluğu doldurun
Tutaq ki, 8 və 1 -i seçirik. Onlara yazın:
(3x
Addım 8.)(
Addım 1
Addım 5. x dəyişən ilə ədəd arasındakı işarəni (artı və ya mənfi) təyin edin
Orijinal tənlikdəki işarələrdən asılı olaraq sabitlər üçün işarələr axtarmaq mümkün ola bilər. Tutaq ki, iki faktorumuz üçün h və k sabitlərini çağırırıq:
Əgər balta2 + bx + c sonra (x + h) (x + k)
Əgər balta2 - bx - c və ya balta2 + bx - c sonra (x - h) (x + k)
Əgər balta2 - bx + c sonra (x - h) (x - k)
Məsələn, 3x2 + 2x - 8, işarələr: (x - h) (x + k), bizə iki faktor verir:
(3x + 8) və (x - 1)
Addım 6. Seçimlərinizi əvvəl-sondan vurma (PLDT) istifadə edərək sınayın
İlk sürətli test, orta müddətin ən azından düzgün dəyərə sahib olub olmadığını yoxlamaqdır. Əks təqdirdə səhv c faktorlarını seçmiş ola bilərsiniz. Cavabımızı sınayaq:
(3x + 8) (x - 1)
Çarpmaqla əldə edirik:
3x2 - 3x + 8x - 8
(-3x) və (8x) kimi terminləri əlavə edərək bu tənliyi sadələşdirərək əldə edirik:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
İndi bilirik ki, səhv faktorlardan istifadə etməliyik:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Addım 7. Gerekirse seçiminizi dəyişdirin
Misalımızda 1 və 8 əvəzinə 2 və 4 -ü sınayaq:
(3x + 2) (x - 4)
İndi c terminimiz -8 -dir, ancaq xaricdəki/içimizdəki məhsul (3x * -4) və (2 * x) -12x və 2x -dir ki, bu da düzgün b +2x terminini istehsal etməyəcək.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Addım 8. Gerekirse sifarişi geri çevirin
2 və 4 -ü dəyişdirməyə çalışaq:
(3x + 4) (x - 2)
İndi c terminimiz (4 * 2 = 8) doğrudur, ancaq xarici/daxili məhsulumuz -6x və 4x -dir. Onları birləşdirsək:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Axtardığımız 2x -ə olduqca yaxınlaşırıq, amma işarə səhvdir.
Addım 9. Lazım gələrsə etiketlərinizi iki dəfə yoxlayın
Eyni qaydada istifadə edəcəyik, lakin eksi işarəsi olan tənlikləri dəyişdirin:
(3x - 4) (x + 2)
İndi c termini heç bir problem deyil və cari xarici/daxili məhsul (6x) və (-4x) dir. Çünki:
6x - 4x = 2x
2x = 2x İndi orijinal problemdən müsbət 2x istifadə edə bilərik. Bunlar doğru faktorlar olmalıdır.
Metod 2 /6: Parçalanma
Bu üsul a və c terminlərinin bütün mümkün faktorlarını müəyyən edəcək və doğru faktorları tapmaq üçün onlardan istifadə edəcək. Rəqəmlər çox böyükdürsə və ya təxmin etmək çox vaxt aparırsa, bu üsuldan istifadə edin. Bir nümunə istifadə edək:
6x2 + 13x + 6
Addım 1. Termini a ilə çoxaltın c
Bu nümunədə a 6 və c də 6 -dır.
6 * 6 = 36
Addım 2. Faktorinq və test yolu ilə b termini alın
A * c məhsulunun faktorları olan və b (13) termini əlavə edən iki ədəd axtarırıq.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Addım 3. b bəndinin əlavə edilməsi nəticəsində əldə etdiyiniz iki rəqəmi tənliyinizə qoyun
Əlimizdə olan 4 və 9 ədədlərini təmsil etmək üçün k və h istifadə edək:
balta2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Addım 4. Polinomu qruplaşdıraraq faktorlayın
Tənlikləri elə qurun ki, həm birinci, həm də ikinci şərtlərin ən böyük ortaq faktorunu götürəsiniz. Faktor qrupu eyni olmalıdır. Ən Böyük Ümumi Faktoru əlavə edin və faktor qrupunun yanında mötərizədə yerləşdirin; nəticə sizin iki faktorunuzdur:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metod 3 /6: Üçlü Oyun
Parçalanma metoduna bənzər olaraq, üçlü oyun metodu a və c şərtlərinin vurulmasının və b dəyərinin istifadə edilməsinin mümkün amillərini araşdırır. Bu tənlik nümunəsini istifadə etməyə çalışın:
8x2 + 10x + 2
Addım 1. Termini a ilə çoxaltın c
Analiz metodu kimi, bu da b dövrü üçün namizədləri müəyyən etməyə kömək edəcək. Bu nümunədə a 8 və c 2 -dir.
8 * 2 = 16
Addım 2. Nömrələrlə vurulduqda, bu ədədin cəminə bərabər olan b ədədinə bərabər olan iki ədəd tapın
Bu addım təhlil etməklə eynidır - sabit üçün namizədləri sınayırıq və atırıq. A və c şərtlərinin məhsulu 16 -dır və c termini 10 -a bərabərdir:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Addım 3. Bu iki rəqəmi götürün və üçlü oyun formuluna qoşaraq sınayın
Əvvəlki addımdakı iki nömrəmizi götürək - h və k deyək - və onları tənliyə qoşaq:
((ax + h) (ax + k))/ a
Alacağıq:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Addım 4. Nümayişdəki iki termindən hər hansı birinin a -ya bölündüyünə diqqət yetirin
Bu nümunədə, (8x + 8) və ya (8x + 2) nin 8 -ə bölündüyünü gördük. (8x + 8) 8 -ə bölünür, ona görə də bu termini a -ya bölüb digər faktorları tək qoyacağıq.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Buradakı mötərizədə olan termin, a termini ilə böldükdən sonra qalan şeydir.
Addım 5. Əgər varsa, bir və ya hər iki termin üçün ən böyük ortaq faktoru (GCF) götürün
Bu nümunədə, ikinci dövr, 2 GCF -ə malikdir, çünki 8x + 2 = 2 (4x + 1). Bu nəticəni əvvəlki addımdan aldığınız müddətlə birləşdirin. Bunlar tənliyinizdəki amillərdir.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metod 4 /6: Kök Köklərin Fərqi
Polinomlardakı bəzi əmsallar 'kvadratlar' və ya iki ədədin məhsulu ola bilər. Bu kvadratların müəyyən edilməsi birdən çox polinomu daha tez əmələ gətirməyə imkan verir. Bu tənliyi sınayın:
27x2 - 12 = 0
Addım 1. Mümkünsə ən böyük ümumi faktoru çıxarın
Bu vəziyyətdə 27 və 12 -nin 3 -ə bölündüyünü görə bilərik:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Addım 2. Tənlikinizin əmsallarının kvadrat ədədlər olub olmadığını müəyyənləşdirin
Bu metoddan istifadə etmək üçün hər iki terminin kvadrat kökünü götürməyi bacarmalısınız. (Diqqət yetirin ki, mənfi işarəyə məhəl qoymayacağıq - çünki bu ədədlər iki müsbət və ya mənfi ədədin məhsulu ola biləcək kvadratlardır)
9x2 = 3x * 3x və 4 = 2 * 2
Addım 3. Aldığınız kvadrat kökdən istifadə edərək faktorları yazın
A və c dəyərlərini yuxarıdakı addımdan götürəcəyik - a = 9 və c = 4, sonra kvadrat kök tapırıq - a = 3 və c = 2. Nəticə faktor tənliyinin əmsalını alır:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metod 5 -dən 6: Kvadrat Düstur
Əgər hər şey uğursuz olarsa və tənliyi bütövləşdirmək mümkün deyilsə, kvadratik düsturdan istifadə edin. Bu nümunəni sınayın:
x2 + 4x + 1 = 0
Addım 1. Lazımi dəyərləri kvadratik düstura daxil edin:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Tənliyi alırıq:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Addım 2. x -in dəyərini tapın
İki dəyər əldə edəcəksiniz. Yuxarıda göstərildiyi kimi iki cavab alırıq:
x = -2 + (3) və ya x = -2 -(3)
Addım 3. Faktorları tapmaq üçün x dəyərinizi istifadə edin
Aldığınız x dəyərlərini sabit olaraq iki polinom tənliyinə daxil edin. Nəticə sizin faktorlarınızdır. Cavablarımızı h və k adlandırsaq, iki faktoru aşağıdakı kimi yazarıq:
(x - h) (x - k)
Bu nümunədə son cavabımız belədir:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Metod 6 /6: Kalkulyatordan istifadə
Bir kalkulyatordan istifadə etməyinizə icazə verilirsə, bir qrafik kalkulyatoru, xüsusən standart testlər üçün faktoring prosesini çox asanlaşdırır. Bu təlimatlar TI qrafik kalkulyatoru üçündür. Bir nümunə tənlikdən istifadə edəcəyik:
y = x2 x 2
Addım 1. Kalkulyatora tənliyinizi daxil edin
Ekranda [Y =] yazılmış tənliyin faktorinqindən istifadə edəcəksiniz.
Addım 2. Kalkulyatorunuzdan istifadə edərək tənliklərinizi qrafikləşdirin
Tənliyinizi daxil etdiyiniz zaman [GRAPH] düyməsini basın - tənliyinizi təmsil edən hamar bir əyri görəcəksiniz (və çoxbucaqlardan istifadə etdiyimiz üçün forma əyridir).
Addım 3. Döngənin x oxu ilə kəsişdiyi yeri tapın
Polinom tənlikləri ümumiyyətlə balta olaraq yazıldığından2 + bx + c = 0, bu kəsişmə, tənliyin sıfır olmasına səbəb olan x -in ikinci dəyəridir:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Qrafın x oxu ilə kəsişdiyini harada olduğunu müəyyən edə bilmirsinizsə, [2] və sonra [İZLƏ] düyməsini basın. [2] düyməsini basın və ya sıfır seçin. Kursoru kəsişmənin soluna aparın və [ENTER] düyməsini basın. Kursoru kəsişmənin sağına köçürün və [ENTER] düyməsini basın. Kursoru kəsişmə nöqtəsinə mümkün qədər yaxınlaşdırın və [ENTER] düyməsini basın. Kalkulyator x -in dəyərini tapacaq. Bunu digər kəsişmələr üçün də edin
Addım 4. Əvvəlki addımdan alınan x dəyərini iki faktorial tənliyə qoşun
Hər iki x dəyərimizi h və k adlandırsaydıq, istifadə edəcəyimiz tənliklər belə olardı:
(x - h) (x - k) = 0
Beləliklə, iki faktorumuz bunlardır:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
İpuçları
- TI-84 kalkulyatorunuz varsa (qrafik), kvadrat tənliklərinizi həll edəcək SOLVER adlı bir proqram var. Bu proqram istənilən dərəcə polinomları həll edəcək.
- Əgər bir termin yazılmırsa, əmsal 0 -dır. Əgər belədirsə, tənliyin yenidən yazılması faydalıdır, məsələn: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Polinomunuzu kvadratik bir düsturdan istifadə edərək köklər baxımından aldınızsa, yoxlamaq üçün x dəyərini bir hissəyə çevirmək istəyə bilərsiniz.
- Bir terminin yazılı əmsalı yoxdursa, əmsal 1 -dir, məsələn: x2 = 1x2.
- Kifayət qədər təcrübədən sonra, nəticədə başınızdakı polinomları faktorlaşdıra biləcəksiniz. Bunu edə bilməyincə, həmişə necə edəcəyinizi yazdığınızdan əmin olun.
