Kübik tənlikləri həll etməyin 3 yolu

2024 Müəllif: Jason Gerald | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-16 19:09

İlk dəfə kub tənliyini tapdığınız zaman (baltadır ³ + bx ² + cx + d = 0), bəlkə problemin həllinin çətin olacağını düşünürsən. Ancaq bilin ki, kub tənliklərinin həlli əslində əsrlər boyu olmuşdur! 1500 -cü illərdə italyan riyaziyyatçılar Niccolò Tartaglia və Gerolamo Cardano tərəfindən kəşf edilən bu həll, qədim Yunanıstan və Romada bilinən ilk düsturlardan biridir. Kübik tənliklərin həlli bir az çətin ola bilər, ancaq düzgün yanaşma ilə (və kifayət qədər biliklə) ən çətin kub tənlikləri belə həll edilə bilər.

Addım

Metod 1 /3: Kvadrat tənliklərdən istifadə edərək həll

Addım 1. Kub tənliyinizin sabit olub olmadığını yoxlayın

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, kub tənliyinin forması baltadır ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c və d -nin dəyəri bu kub tənliyinin formasına təsir etmədən 0 ola bilər; Bu, əsasən, kub tənliyinin həmişə bx dəyərini ehtiva etməməsi deməkdir ², cx və ya d bir kub tənliyi ola bilər. Küb tənliklərini həll etməyin bu olduqca asan yolundan istifadə etməyə başlamaq üçün, kub tənliyinizin sabit (və ya d dəyərinə) malik olub olmadığını yoxlayın. Əgər tənliyinizin d üçün sabit və ya dəyəri yoxdursa, bir neçə addımdan sonra kub tənliyinin cavabını tapmaq üçün kvadrat tənlikdən istifadə edə bilərsiniz.

Digər tərəfdən, tənliyinizin sabit bir dəyəri varsa, başqa bir həllə ehtiyacınız olacaq. Digər yanaşmalar üçün aşağıdakı addımlara baxın

Addım 2. X dəyərini kub tənliyindən ayırın

Tənlikinizin sabit bir dəyəri olmadığı üçün tərkibindəki bütün komponentlər x dəyişəninə malikdir. Bu o deməkdir ki, x -in bu dəyərini sadələşdirmək üçün tənlikdən çıxarmaq olar. Bu addımı edin və kub tənliyinizi x (ax ² + bx + c).

Məsələn, tutaq ki, burada orijinal kub tənliyi 3 x -dir ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Bu tənlikdən bir x x dəyişənini hesablayaraq tənliyi əldə edirik x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Addım 3. Mötərizədə olan tənlikləri həll etmək üçün kvadrat tənliklərdən istifadə edin

Parantez içərisində olan bəzi yeni tənliklərinizin kvadrat tənlik şəklində olduğunu görə bilərsiniz. ² + bx + c). Bu o deməkdir ki, a, b və c-ni kvadrat tənlik düsturuna ({- b +/- √ (b) qoşaraq sıfıra bərabər etmək üçün lazım olan dəyəri tapa bilərik. ²- 4 ac)}/2 a). Kub tənliyinizə iki cavab tapmaq üçün bu hesablamaları aparın.

• Misalımızda a, b və c (sırasıyla 3, -2 və 14) dəyərlərini aşağıdakı kimi kvadrat tənliyə daxil edin:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Cavab 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• Cavab 2:

  {2 - 12.8 i}/6

Addım 4. Kub tənliyinizə cavab olaraq sıfırlardan və kvadrat tənliyinizə verilən cavabdan istifadə edin

Kvadrat tənliklərin iki cavabı, kub tənliklərin isə üç cavabı olacaq. Artıq üç cavabdan ikisini bilirsiniz; Mötərizədə tənliyin "kvadrat" hissəsindən əldə etdiyiniz. Əgər kub tənliyiniz belə "faktorizasiya" ilə həll edilə bilərsə, üçüncü cavabınız demək olar ki, həmişə olur 0. Təhlükəsiz! Bir kub tənliyini həll etdiniz.

Bu metodu işə salan səbəb "sıfırla vurulan hər hansı bir ədədin sıfıra bərabər olması" təməl faktdır. Tənliyinizi x (ax ² + bx + c) = 0, əsasən iki "hissəyə" bölürsən; bir hissəsi sol tərəfdəki x dəyişənidir, digər hissəsi mötərizədə olan kvadrat tənlikdir. Bu iki hissədən biri sıfır olarsa, bütün tənlik də sıfır olacaq. Beləliklə, mötərizədə olan kvadrat tənliyə verilən sıfıra bərabər olan iki cavab, kub tənliyinin cavablarıdır, eyni zamanda 0 -un özü də sol tərəfdəki hissəni sıfıra çevirər.

Metod 2 /3: Bir Faktor Siyahısından İstifadə Edərək Tam Cavablar Tapın

Addım 1. Kub tənliyinizin sabit bir dəyərə malik olduğundan əmin olun

Yuxarıda təsvir olunan metodlardan istifadə etmək olduqca asan olsa da, onlardan istifadə etmək üçün yeni bir hesablama texnikası öyrənməyinizə ehtiyac yoxdur, onlar həmişə kub tənliklərini həll etməyə kömək etməyəcəklər. Əgər kub tənliyiniz baltadırsa ³ + bx ² + cx + d = 0, d -nin dəyəri sıfıra bərabər deyilsə, yuxarıdakı "faktorizasiya" metodu işləmir, buna görə də bu problemi həll etmək üçün bu hissədəki metodlardan birini istifadə etməlisiniz.

Məsələn, tutaq ki, 2 x tənliyinə sahibik ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Bu vəziyyətdə, tənliyin sağ tərəfində sıfır almaq üçün hər iki tərəfə 6 əlavə etməliyik. Bundan sonra 2 x yeni bir tənlik əldə edəcəyik ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 dəyəri ilə, əvvəlki metoddakı kimi "faktorizasiya" metodundan istifadə edə bilmərik.

Addım 2. a və d faktorlarını tapın

Kübik tənliyinizi həll etmək üçün a faktorunu (x əmsalı) taparaq başlayın ³) və d (tənliyin sonundakı sabit dəyər). Unutmayın ki, faktorlar müəyyən bir ədəd çıxarmaq üçün bir -biri ilə vurula bilən ədədlərdir. Məsələn, 6 × 1 və 2 × 3 çarpmaqla 6 əldə edə biləcəyiniz üçün 1, 2, 3 və 6 6 faktorlarıdır.

• İstifadə etdiyimiz nümunə problemində a = 2 və d = 6. 2 faktorudur 1 və 2. 6 faktoru olduğu halda 1, 2, 3 və 6.

  

  Addım 3. a faktorunu d faktoruna bölün

  Sonra, hər bir a faktorunu hər bir d faktoruna bölməklə əldə etdiyiniz dəyərləri sadalayın. Bu hesablama ümumiyyətlə bir çox kəsr dəyərləri və bir neçə tam ədədlə nəticələnir. Kub tənliyinizi həll etmək üçün tam ədəd, hesablamadan əldə edilən tam ədədlərdən biridir.

  Tənlikimizdə a (1, 2) faktor dəyərini d (1, 2, 3, 6) əmsalına bölün və aşağıdakı nəticələri alın: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 və 2/3. Sonra siyahıya mənfi dəyərlər əlavə edin və əldə edirik: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 və -2/3. Tam tənlik olan kub tənliyinin cavabı siyahıdadır.

  

  Addım 4. Cavablarınızı əl ilə yoxlamaq üçün sintetik bölmə istifadə edin

  Yuxarıdakı kimi dəyərlər siyahısına sahib olduqdan sonra, hər bir tamsayı əl ilə daxil edərək kub tənliyinizə cavab verən tam ədədləri axtara bilərsiniz və hansı dəyərin sıfıra döndüyünü tapa bilərsiniz. Ancaq bunu etmək üçün vaxt sərf etmək istəmirsinizsə, bunu daha sürətli etmək üçün bir yol var, yəni sintetik bölmə adlanan bir hesablama ilə. Əsasən, tamsayı dəyərinizi kub tənliyinizdəki a, b, c və d orijinal əmsallarına bölürdünüz. Qalan sıfırdırsa, bu dəyər kub tənliyinizə verilən cavablardan biridir.

  • Sintetik bölünmə kompleks bir mövzudur - daha çox məlumat üçün aşağıdakı linkə baxın. Sintetik bölmə ilə kub tənliyinizə cavablardan birini necə tapacağınıza bir nümunə:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Yekun nəticəni 0 -a bərabər aldığımız üçün, kub tənliyimizin tam cavablarından birinin olduğunu bilirik - 1.

  Metod 3 /3: Ayrı -seçkilik yanaşmasından istifadə

  

  Addım 1. a, b, c və d tənliklərini yazın

  Küb tənliyinin cavabını bu şəkildə tapmaq üçün tənliyimizdəki əmsallarla çoxlu hesablamalar aparacağıq. Bu səbəbdən, dəyərlərdən birini unutmadan əvvəl a, b, c və d dəyərlərini qeyd etmək yaxşı bir fikirdir.

  Məsələn, x tənliyi üçün ³ - 3 x ² + 3 x -1, bunu a = 1, b = -3, c = 3 və d = -1 olaraq yazın. Unutmayın ki, x dəyişəninin əmsalı olmadıqda onun dəyəri 1 -dir.

  

  Addım 2. 0 = b hesablayın ² - 3 ədəd kondisioner.

  Kübik tənliklərə cavab tapmaq üçün diskriminant yanaşma kompleks hesablamalar tələb edir, ancaq bu addımları diqqətlə izləsəniz, başqa yollarla həll etmək çətin olan kub tənliklərinin həlli üçün çox faydalı ola bilər. Başlamaq üçün, ehtiyac duyduğumuz bir neçə dəyərin ilk əhəmiyyətli dəyəri olan 0 dəyərini tapın, uyğun dəyəri b düsturuna daxil edin. ² - 3 ədəd kondisioner.

  • İstifadə etdiyimiz nümunədə bunu aşağıdakı kimi həll edəcəyik:

    b ² - 3 il

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Addım 3. 1 = 2 hesablayın b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Ehtiyac duyduğumuz növbəti əhəmiyyətli dəyər, 1, daha uzun bir hesablama tələb edir, ancaq 0 ilə eyni şəkildə tapıla bilər. Uyğun dəyəri 2 b düsturuna daxil edin ³ - 9 abc + 27 a ² d 1 dəyərini əldə etmək üçün.

  • Bu nümunədə bunu aşağıdakı kimi həll edirik:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Addım 4. Hesablayın = 1² - 4-0³) -27 a ².

  Sonra, 0 və 1 dəyərlərinin "diskriminant" dəyərini hesablayırıq. Diskriminant, polinomun kökü haqqında məlumat verən bir rəqəmdir (şüursuz olaraq kvadratik diskriminant düsturunu əzbərləmisiniz: b ² - 4 kondisioner). Bir kub tənliyi vəziyyətində, diskriminantın dəyəri müsbətdirsə, tənliyin üç həqiqi ədəd cavabı var. Diskriminant dəyər sıfıra bərabərdirsə, tənliyin bir və ya iki həqiqi ədəd cavabı var və bəzi cavablar eyni dəyərə malikdir. Dəyər mənfi olarsa, tənliyin yalnız bir real ədəd cavabı var, çünki tənliyin qrafiki həmişə x oxunu ən azı bir dəfə kəsər.)

  • Bu nümunədə həm 0, həm də 1 = 0 olduğu üçün dəyərini tapmaq çox asandır. Bunu yalnız aşağıdakı şəkildə hesablamalıyıq:

    1² - 4-0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, buna görə tənliyimizin 1 və ya 2 cavabı var.

  

  Addım 5. C = hesablayın ³(√ ((Δ1² - 4-0³) + 1)/ 2).

  Əldə etməyimiz üçün vacib olan son dəyər C dəyəridir. Bu dəyər, kub tənliyimizin üç kökünün hamısını əldə etməyə imkan verir. Həmişə olduğu kimi həll edin, 1 və 0 dəyərlərini düstura daxil edin.

  • Bu nümunədə C -nin dəyərini əldə edəcəyik:

    ³(√ ((Δ1² - 4-0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Addım 6. Dəyişəninizlə bərabərliyin üç kökü hesablayın

  Kub tənliyinizin kökü (cavabı) düsturla müəyyən edilir (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, burada u = (-1 + (-3))/2 və n 1, 2 və ya 3-ə bərabərdir. Onları həll etmək üçün dəyərlərinizi düstura daxil edin-etməli olduğunuz bir neçə hesablama ola bilər., amma kub tənliyinizin hər üç cavabını almalısınız!

  • Bu nümunədə, n 1, 2 və 3 -ə bərabər olduqda cavabları yoxlayaraq həll edə bilərik. Bu hesablamadan aldığımız cavab kub tənliyimizə mümkün cavabdır - kub tənliyinə qoşduğumuz hər hansı bir dəyər. eyni nəticə. 0 ilə düzgün cavabdır. Məsələn, hesablama təcrübələrimizdən birində 1 -ə bərabər bir cavab alsaq, 1 -ni x tənliyinə daxil edirik. ³ - 3 x ² + 3 x - 1 yekun nəticəni 0 -a bərabər verir. Beləliklə

    Addım 1. kub tənliyimizin cavablarından biridir.