Kvadrat tənlikləri həll etməyin 3 yolu

2024 Müəllif: Jason Gerald | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-16 10:54

Kvadrat tənlik, ən yüksək dərəcəsi 2 (kvadrat) olan bir tənlikdir. Kvadrat tənliyi həll etməyin üç əsas yolu var: bacarsanız kvadrat tənliyi faktorlaşdırmaq, bir kvadrat düsturu istifadə etmək və ya kvadratı tamamlamaq. Bu üç metodu mənimsəmək istəyirsinizsə, bu addımları izləyin.

Addım

Metod 1 /3: Faktorinq tənlikləri

Addım 1. Bütün bərabər dəyişənləri birləşdirin və onları tənliyin bir tərəfinə köçürün

Bir tənliyi faktorlaşdırmanın ilk addımı bütün bərabər dəyişənləri x ilə bərabərliyin bir tərəfinə daşımaqdır²müsbətdir. Dəyişənləri birləşdirmək üçün bütün dəyişənləri əlavə edin və ya çıxarın x², x və sabitləri (tam ədədlər), onları tənliyin digər tərəfinə köçürün ki, digər tərəfdə heç nə qalmasın. Qarşı tərəfin dəyişənləri qalmadıqda, bərabərlik işarəsinin yanına 0 yazın. Bunu necə edəcəyinizi burada görə bilərsiniz:

• 2x² - 8x - 4 = 3x - x²
• 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
• 3x² - 11x - 4 = 0

Addım 2. Bu tənliyi əmələ gətirin

Bu tənliyi əmsal etmək üçün x faktorundan istifadə etməlisiniz² (3) və sabit faktor (-4), onları çoxaldır və ortadakı dəyişənə uyğun olaraq əlavə edir, (-11). Bunu necə edəcəyinizi burada görə bilərsiniz:

• 3x² 3x və x olan yalnız bir mümkün faktora malikdir, bunları mötərizədə yaza bilərsiniz: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
• Ardından, -11x verən məhsulu tapmaq üçün 4 faktorunu çıxarmaq üçün yoxlama prosesindən istifadə edin. 4 və 1 və ya 2 və 2 -nin məhsulundan istifadə edə bilərsiniz, çünki hər ikisini çoxaltdığınız zaman 4 -ə çatacaqsınız. Ancaq unutmayın ki, nəticə -4 olduğu üçün ədədlərdən biri mənfi olmalıdır.
• (3x + 1) (x - 4) cəhd edin. Çarpdığınızda nəticə - 3xdir² -12x +x -4. -12 x və x dəyişənlərini birləşdirsəniz, nəticə orta dəyəriniz olan -11x olur. Kvadrat tənliyi əsaslandırdınız.
• Məsələn, digər məhsulu faktoring etməyə çalışaq: (3x -2) (x +2) = 3x² +6x -2x -4. Dəyişənləri birləşdirsəniz, nəticə 3xdir² -4x -4. -4 vurulduqda -2 və 2 faktorlarına baxmayaraq, ortalaması eyni deyil, çünki -4x əvəzinə -11x dəyərini almaq istəyirsən.

Addım 3. Fərqli bir tənlikdə hər bir mötərizənin sıfır olduğunu düşünün

Bu, tənliyinizi sıfıra çevirəcək 2 x dəyər tapmağa imkan verəcəkdir. Tənliyinizi əsaslandırdınız, buna görə də hər bir mötərizədə hesablamanın sıfıra bərabər olduğunu düşünmək kifayətdir. Beləliklə, 3x + 1 = 0 və x - 4 = 0 yaza bilərsiniz.

Addım 4. Hər bir tənliyi ayrıca həll edin

Kvadrat tənlikdə x üçün 2 dəyər var. Dəyişənləri hərəkət etdirərək və x üçün 2 cavabı yazaraq hər tənliyi ayrıca həll edin:

• 3x + 1 = 0 həll edin

  • 3x = -1….. çıxmaqla
  • 3x/3 = -1/3….. bölməklə
  • x = -1/3….. sadələşdirməklə

• X - 4 = 0 həll edin

  x = 4….. çıxmaqla

• x = (-1/3, 4)….. bir neçə mümkün cavabı ayıraraq, x = -1/3 və ya x = 4 olmaqla hər ikisi də doğru ola bilər.

Addım 5. (3x + 1) (x -4) = 0 x = -1/3 yoxlayın:

Beləliklə əldə edirik (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. (0) (-4 1/3) = 0….. sadələşdirilərək 0 = 0….. Bəli, x = -1/3 doğrudur.

Addım 6. (3x + 1) (x - 4) = 0 x = 4 işarəsini yoxlayın:

Beləliklə əldə edirik (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. (13) (4 - 4)? =? 0….. (13) (0) = 0….. sadələşdirilərək, 0 = 0….. Bəli, x = 4 də doğrudur.

Beləliklə, ayrıca yoxladıqdan sonra hər iki cavab düzgündür və tənliklərdə istifadə edilə bilər

Metod 2 /3: Kvadrat Düsturdan istifadə

Addım 1. Bütün bərabər dəyişənləri birləşdirin və onları tənliyin bir tərəfinə köçürün

Bütün dəyişənləri x dəyişəninin dəyəri ilə bərabərliyin bir tərəfinə köçürün² müsbət Dəyişənləri ardıcıl göstəricilərlə yazın ki, x olsun² əvvəlcə dəyişənlər və sabitlər yazılır. Bunu necə edəcəyinizi burada görə bilərsiniz:

• 4x² - 5x - 13 = x² -5
• 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
• 3x² - 5x - 8 = 0

Addım 2. Kvadrat formulu yazın

Kvadrat formul: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}

Addım 3. Kvadrat tənlikdən a, b və c dəyərlərini təyin edin

A dəyişən x əmsaldır², b - x dəyişəninin əmsalı, c - sabitdir. 3x tənliyi üçün² -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 və c = -8. Üçünü də yazın.

Addım 4. Tənlikdəki a, b və c dəyərlərini əvəz edin

Üç dəyişən dəyəri bildikdən sonra bunları belə bir tənliyə qoşun:

• {-b +/- √ (b² - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

Addım 5. Hesablamalar aparın

Nömrələri daxil etdikdən sonra, müsbət və ya mənfi işarəni asanlaşdırmaq, qalan dəyişənləri vurmaq və ya kvadratlaşdırmaq üçün bir az riyaziyyat edin. Bunu necə edəcəyinizi burada görə bilərsiniz:

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

Addım 6. Kvadrat kökü sadələşdirin

Kvadrat kökün altındakı rəqəm mükəmməl bir kvadratdırsa, tam ədəd əldə edirsiniz. Sayı mükəmməl bir kvadrat deyilsə, ən sadə kök formasını sadələşdirin. Nömrə mənfi olarsa və bunun mənfi olması lazım olduğunu düşünürsünüzsə, kök dəyər çətinləşəcək. Bu nümunədə, (121) = 11. x = (5 +/- 11)/6 yaza bilərsiniz.

Addım 7. Müsbət və mənfi cavabları axtarın

Kvadrat kök işarəsini çıxardıqdan sonra, x üçün müsbət və mənfi nəticə əldə etməyə çalışa bilərsiniz. İndi (5 +/- 11)/6 aldığınıza görə 2 cavabı yaza bilərsiniz:

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

Addım 8. Müsbət və mənfi cavabları tamamlayın

Riyazi hesablamalar aparın:

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

Addım 9. Sadələşdirin

Hər bir cavabı sadələşdirmək üçün hər iki rəqəmi bölə bilən ən böyük rəqəmə bölün. Birinci hissəni 2 -yə, ikincisini 6 -ya bölün və x -in dəyərini tapdınız.

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1, 8/3)

Metod 3 /3: Meydanı tamamlayın

Addım 1. Bütün dəyişənləri tənliyin bir tərəfinə köçürün

Bir və ya dəyişən x olduğundan əmin olun² müsbət Bunu necə edəcəyinizi burada görə bilərsiniz:

• 2x² - 9 = 12x =

• 2x² - 12x - 9 = 0

  Bu tənlikdə a dəyişən 2, b dəyişən -12, c dəyişən isə -9 olur

Addım 2. Dəyişən və ya c sabitini digər tərəfə köçürün

Sabitlər dəyişənləri olmayan ədədi şərtlərdir. Tənliyin sağ tərəfinə keçin:

• 2x² - 12x - 9 = 0
• 2x² - 12x = 9

Addım 3. Hər iki tərəfi a əmsalına və ya x dəyişəninə bölün².

Əgər x² dəyişən yoxdur və əmsalı 1 -dir, bu addımı atlaya bilərsiniz. Bu vəziyyətdə, bütün dəyişənləri 2 -yə bölmək lazımdır:

• 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
• x² - 6x = 9/2

Addım 4. b -ni 2 -yə bölün, kvadrat halına salın və nəticəni hər iki tərəfə əlavə edin

Bu nümunədə b -nin dəyəri -6 -dır. Bunu necə edəcəyinizi burada görə bilərsiniz:

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• x² - 6x + 9 = 9/2 + 9

Addım 5. Hər iki tərəfi də sadələşdirin

Sol tərəfdəki dəyişəni (x-3) (x-3) və ya (x-3) əldə etmək üçün faktorlayın.². 27/2 olan 9/2 + 9 və ya 9/2 + 18/2 almaq üçün dəyərləri sağa əlavə edin.

Addım 6. Hər iki tərəf üçün kvadrat kök tapın

Kvadrat kök (x-3)² (x-3) dir. 27/2 kvadrat kökünü ± √ (27/2) olaraq yaza bilərsiniz. Beləliklə, x - 3 = ± √ (27/2).

Addım 7. Kökləri sadələşdirin və x -in dəyərini tapın

± √ (27/2) sadələşdirmək üçün 27 və 2 ədədləri arasındakı mükəmməl kvadratı və ya bu rəqəmi əmsal edin. 9 -un mükəmməl kvadratı 27 -də tapıla bilər, çünki 9 x 3 = 27. Kvadrat kökündən 9 çıxarmaq üçün kökündən 9 -u çıxarın və kvadrat kökün xaricində 3 -ü yazın. Qalan 3 -ü, kvadrat faktorun altındakı fraksiyanın payında buraxın, çünki 27 bütün faktorları həll etmir və aşağıda 2 yazın. Sonra tənliyin sol tərəfindəki sabit 3 -ü sağa köçürün və x üçün iki həll yolunuzu yazın:

• x = 3 +(√6)/2
• x = 3 - (√6)/2)

İpuçları

• Gördüyünüz kimi, kök izləri tamamilə yox olmayacaq. Beləliklə, say dəyişənləri birləşdirilə bilməz (çünki onlar bərabər deyillər). Müsbət və ya mənfi olaraq ayırmanın heç bir mənası yoxdur. Ancaq eyni amilə görə bölə bilərik, amma YALNIZ faktorlar hər iki sabit üçün eynidirsə VƏ kök əmsalı.
• Kvadrat kökün altındakı rəqəm mükəmməl bir kvadrat deyilsə, son addımlar bir az fərqlidir. Budur bir nümunə:
• B cüt ədəddirsə, düstur belə olur: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.