Kök forması, kvadrat kök (və ya kub kökü və ya daha yüksək) işarəsi olan cəbr ifadəsidir. Bu forma, ilk baxışdan fərqli görünsələr də, eyni dəyəri olan iki rəqəmi təmsil edə bilər (məsələn, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Buna görə də bu cür forma üçün "standart bir düstura" ehtiyacımız var. Hər ikisi standart formulda fərqli görünən iki ifadə varsa, eyni deyillər. Riyaziyyatçılar, kvadratik formanın standart formulasının aşağıdakı tələblərə cavab verdiyini qəbul edirlər:
- Fraksiya istifadə etməkdən çəkinin
- Fraksiya güclərindən istifadə etməyin
- Məxrəcdə kök formasını istifadə etməkdən çəkinin
- İki kök formasının vurulmasını ehtiva etmir
- Kök altındakı ədədlər artıq köklənə bilməz
Bunun bir praktik istifadəsi çox seçim imtahanlarında olur. Bir cavab tapdıqda, amma cavabınız mövcud variantlarla eyni deyilsə, onu standart bir düstura çevirməyə çalışın. Sual verənlər ümumiyyətlə standart düsturlarda cavab yazdıqları üçün cavablarınızı da eyni şəkildə cavablandırın. İnşa suallarında "cavabınızı asanlaşdırın" və ya "bütün kökləri sadələşdirin" kimi əmrlər, şagirdlərin yuxarıdakı kimi standart düstura uyğun gələnə qədər aşağıdakı addımları yerinə yetirmələri lazım olduğunu bildirir. Bu addım tənlikləri həll etmək üçün də istifadə edilə bilər, baxmayaraq ki, bəzi tənlik növləri qeyri-standart düsturlarda həll etmək daha asandır.
Addım
Addım 1. Gerekirse, bu prosesdə ehtiyac duyduğumuz üçün əməliyyat kökləri və göstəriciləri (hər ikisi bərabərdir - köklər kəsrlərin gücüdür) qaydalarını nəzərdən keçirin
Sadələşdirməli olduğumuz üçün polinomları və rasional formaları sadələşdirmək qaydalarını da nəzərdən keçirin.
Metod 1 -dən 6: Mükəmməl Kvadratlar
Addım 1. Mükəmməl kvadratlar olan bütün kökləri sadələşdirin
Mükəmməl bir kvadrat, bir ədədin məhsuludur, məsələn, 9 x 9 -un məhsuludur.
- Məsələn, 121 mükəmməl bir kvadratdır, çünki 11 x 11 121 -ə bərabərdir. Beləliklə, kök işarəsini çıxararaq kökü (121) 11 -ə qədər sadələşdirə bilərsiniz.
- Bu addımı asanlaşdırmaq üçün ilk on iki mükəmməl kvadratı xatırlamalısınız: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Addım 2. Mükəmməl kublar olan bütün kökləri sadələşdirin
Mükəmməl bir kub, bir ədədin iki dəfə vurulmasının məhsuludur, məsələn, 27 x 3 x 3 x məhsuludur. Mükəmməl bir kubun kök formasını sadələşdirmək üçün kvadrat kökünü çıxarın və kvadrat kökünü yazın. sayının.
Məsələn, 343, 7 x 7 x 7 məhsulu olduğu üçün mükəmməl bir kubdur. Beləliklə, 343 -ün kub kökü 7 -dir
Metod 2 -dən 6: Fraksiyaları Köklərə çevirmək
Və ya əksinə dəyişdirin (bəzən kömək edir), ancaq kök (5) + 5^(3/2) ilə eyni ifadədə qarışdırmayın. Kök formasını istifadə etmək istədiyinizi güman edəcəyik və kvadrat kök üçün kök (n) və kub kökü üçün sqrt^3 (n) simvollarını istifadə edəcəyik.
Addım 1. Fraksiyanın gücünü götürün və kök formaya çevirin, məsələn x^(a/b) = kök b^gücünə x^a
Kvadrat kökü kəsr şəklindədirsə, onu adi formaya çevirin. Məsələn, kvadrat kök (2/3) 4 = kök (4)^3 = 2^3 = 8
Addım 2. Mənfi göstəriciləri fraksiyalara çevirin, məsələn x^-y = 1/x^y
Bu formula yalnız sabit və rasional göstəricilərə aiddir. 2^x kimi bir forma ilə məşğul olsanız, problem x -in kəsr və ya mənfi ədəd ola biləcəyini göstərsə də, onu dəyişdirməyin
Addım 3. Eyni tayfanı birləşdirin və nəticədə yaranan rasional formanı sadələşdirin.
Metod 3 -dən 6: Köklərdəki fraksiyaları aradan qaldırmaq
Standart düstur kökün tam ədəd olmasını tələb edir.
Addım 1. Hələ də bir hissə varsa, kökün altındakı rəqəmə baxın
Hələ də,…
Addım 2. Şəxsiyyət kökü (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) istifadə edərək iki kökdən ibarət olan bir hissəyə keçin
Məxrəc mənfi olarsa və ya mənfi ola biləcək bir dəyişkəndirsə bu kimliyi istifadə etməyin. Bu vəziyyətdə əvvəlcə fraksiyanı sadələşdirin
Addım 3. Nəticənin hər bir mükəmməl kvadratını sadələşdirin
Yəni sqrt (5/4) 'ı sqrt (5)/sqrt (4) -ə çevirin, sonra sqrt (5)/2 -ə sadələşdirin.
Addım 4. Kompleks fraksiyaları sadələşdirmək, bərabər şərtləri birləşdirmək və s. Kimi digər sadələşdirmə metodlarından istifadə edin
Metod 4 /6: Çarpma Köklərini birləşdirmək
Addım 1. Bir kök formasını digərinə çarpdırırsınızsa, düsturu istifadə edərək ikisini bir kvadrat kökdə birləşdirin:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Məsələn, kök (2)*kök (6) kök (12) olaraq dəyişdirin.
- Yuxarıdakı şəxsiyyət, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), sqrt işarəsinin altındakı rəqəm mənfi deyilsə etibarlıdır. A və b neqativ olduqda bu düsturu istifadə etməyin, çünki sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) etməkdə səhv edəcəksiniz. Soldakı ifadə -1 -ə bərabərdir (və ya kompleks ədədlərdən istifadə etmirsinizsə təyin olunmamışdır), sağdakı ifadə +1 -dir. Əgər a və/və ya b mənfidirsə, əvvəlcə işarəni sqrt (-5) = i*sqrt (5) kimi "dəyişdirin". Kök işarəsinin altındakı forma işarəsi kontekstdən bilinməyən və ya müsbət və ya mənfi ola bilən bir dəyişəndirsə, onu indiki kimi buraxın. Daha ümumi şəxsiyyətdən istifadə edə bilərsiniz, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) bütün həqiqi ədədlər a və b, lakin adətən bu düstur çox kömək etmir, çünki sgn (signum) funksiyasından istifadə etməkdə mürəkkəblik yaradır.
- Bu kimlik yalnız köklərin formaları eyni göstəriciyə malik olduqda etibarlıdır. Eyni kvadrat kökünə çevirərək sqrt (5)*sqrt^3 (7) kimi fərqli kvadrat kökləri çoxalda bilərsiniz. Bunu etmək üçün kvadrat kökünü müvəqqəti olaraq bir hissəyə çevirin: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Sonra ikisini 6125 kvadrat kökünə vurmaq üçün vurma qaydasını istifadə edin.
Metod 5 /6: Kvadrat faktorunu kökündən çıxarmaq
Addım 1. Qüsursuz kökləri əsas amillərə ayırmaq
Faktor, başqa bir ədədlə vurulduqda rəqəm əmələ gətirən bir rəqəmdir - məsələn, 5 və 4 20 -nin iki faktorudur. Qüsursuz kökləri parçalamaq üçün ədədin bütün faktorlarını yazın (və ya mümkün qədər çox Mükəmməl bir kvadrat tapana qədər sayı çox böyükdür).
Məsələn, 45: 1, 3, 5, 9, 15 və 45 faktorlarını tapmağa çalışın. 9 45 faktorudur və eyni zamanda mükəmməl bir kvadratdır (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Addım 2. Kvadrat kökündən mükəmməl kvadratlar olan bütün çarpanları çıxarın
9, 3 x 3 məhsulu olduğu üçün mükəmməl bir kvadratdır. Dördünü kvadrat kökündən çıxarın və kvadrat kökünün içərisində 5 qoyaraq kvadrat kökünün qarşısında 3 ilə əvəz edin. 3 -ü yenidən kvadrat kökünə "qoyursan", 9 -u çıxmaq üçün öz -özünə vur, 5 -ə vursan 45 -i qaytar. 5 -in 3 kökü, 45 -in kökünü ifadə etməyin sadə bir yoludur.
Yəni sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Addım 3. Dəyişəndən mükəmməl kvadrat tapın
Bir kvadratın kvadrat kökü | a |. Bilinən dəyişən müsbətdirsə, bunu "a" ilə sadələşdirə bilərsiniz. A -nın kvadrat kökü 3 -ə bərabər olan bir kvadratın kvadratının kökünə bölündükdə a -nın iki ədədini a -nın gücünə vurduğumuzda göstəricilərin toplandığını unutmayın. üçüncü güc.
Buna görə kub şəklində olan mükəmməl bir kvadrat bir kvadratdır
Addım 4. Mükəmməl kvadrat olan dəyişəni kvadrat kökdən çıxarın
İndi, kvadrat kökdən bir kvadrat alın və onu | a | olaraq dəyişdirin. A kökünün 3 formasının sadə forması | a | dir kök a.
Addım 5. Bərabər şərtləri birləşdirin və hesablama nəticələrinin bütün köklərini sadələşdirin
Metod 6 /6: Məxrəci rasionalizasiya edin
Addım 1. Standart düstur, məxrəcin mümkün qədər bir tamsayı (və ya bir dəyişən varsa, bir polinom) olmasını tələb edir
-
Məxrəc […]/root (5) kimi kök işarəsi altında bir termindən ibarətdirsə, […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt əldə etmək üçün həm payı, həm də məxrəcini həmin köklə çarpın. (5) = […]*kök (5)/5.
Küp kökləri və ya daha yüksəkləri üçün məxrəcin rasional olması üçün uyğun köklə vurun. Məxrəc kök^3 (5) olarsa, bölücü və məxrəci sqrt^3 (5)^2 ilə vurun
-
Məxrəc sqrt (2) + sqrt (6) kimi iki kvadrat kök əlavə etməkdən və ya çıxarmaqdan ibarətdirsə, kəmiyyət və məxrəci eyni forma malik, lakin əks işarəsi olan birləşmələri ilə vurun. Sonra […]/(kök (2) + kök (6)) = […] (kök (2) -kök (6))/(kök (2) + kök (6)) (kök (2) -kök (6)). Sonra məxrəci səmərələşdirmək, (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Bu, 5 + sqrt (3) kimi məxrəclərə də aiddir, çünki bütün tam ədədlər digər tam ədədlərin kökləridir. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Bu üsul, sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7) kimi köklərin əlavə edilməsinə də aiddir. Onları (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) olaraq qruplaşdırsanız və (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) ilə çarparsanız, cavab rasional formada deyil, hələ də a+b*kökündə (30) a və b artıq rasional ədədlərdir. Sonra a+b*sqrt (30) və (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) konjugatları ilə prosesi təkrarlayın. Əslində, bu hiylə ilə məxrəcdəki bir kök işarəsini aradan qaldıra bilsəniz, bütün kökləri çıxarmaq üçün dəfələrlə təkrarlaya bilərsiniz.
- Bu üsul, 3 -ün dördüncü kökü və ya 9 -un yeddinci kökü kimi daha yüksək bir kök olan məxrəclər üçün də istifadə edilə bilər. Təəssüf ki, məxrəcin birləşməsini birbaşa əldə edə bilmirik və bunu etmək çətindir. Sayı nəzəriyyəsinə dair cəbr kitabında cavab tapa bilərik, amma buna girməyəcəyəm.
Addım 2. İndi məxrəc rasional formadadır, amma sayaq qarışıq görünür
İndi etməniz lazım olan şey onu məxrəcin birləşməsi ilə vurmaqdır. Davam edin və polinomları çoxaltdığımız kimi çoxalın. Mümkünsə, hər hansı bir şərtin atılmasının, sadələşdirilməsinin və ya birləşdirilməsinin mümkün olub olmadığını yoxlayın.
Addım 3. Məxrəc mənfi bir tam ədəddirsə, onu müsbət etmək üçün həm payı, həm də məxrəci -1 ilə vurun
İpuçları
- Kök formalarını sadələşdirməyə kömək edə biləcək saytlar üçün onlayn axtarış edə bilərsiniz. Yalnız tənliyi kök işarəsi ilə yazın və Enter düyməsini basdıqdan sonra cavab görünəcək.
- Daha sadə suallar üçün bu məqalədəki bütün addımları istifadə edə bilməzsiniz. Daha mürəkkəb suallar üçün bir neçə dəfə bir neçə dəfə istifadə etməyiniz lazım ola bilər. "Sadə" addımları bir neçə dəfə istifadə edin və cavabınızın əvvəllər bəhs etdiyimiz standart tərtib meyarlarına uyğun olub olmadığını yoxlayın. Cavabınız standart düsturdadırsa, işiniz bitdi; amma yoxsa, bunu etməyinizə kömək etmək üçün yuxarıdakı addımlardan birini yoxlaya bilərsiniz.
- Kök forması üçün "tövsiyə olunan standart düstura" istinadların çoxu kompleks ədədlərə də aiddir (i = kök (-1)). Bir ifadədə kök əvəzinə bir "i" olsa belə, mümkün olduğu qədər yenə də i olan məzhəblərdən çəkinin.
- Bu məqalədəki bəzi təlimatlar, bütün köklərin kvadrat olduğunu düşünür. Eyni ümumi prinsiplər daha yüksək güclərin köklərinə aiddir, baxmayaraq ki, bəzi hissələrlə (xüsusən məxrəcin rasionalizasiyası) işləmək olduqca çətin ola bilər. Sqr^3 (4) və ya sqr^3 (2)^2 kimi hansı forma istədiyinizə özünüz qərar verin. (Dərsliklərdə ümumiyyətlə hansı formanın təklif olunduğunu xatırlamıram).
- Bu məqalədəki bəzi təlimatlar, "nizamlı forma" nı təsvir etmək üçün "standart düstur" sözünü istifadə edir. Fərq ondadır ki, standart düstur yalnız 1+sqrt (2) və ya sqrt (2) +1 formasını qəbul edir və digər formaları qeyri-standart hesab edir; Düz bir forma, oxucu olaraq, bu iki ədədin "oxşarlığını" yazılı olaraq eyni olmasa da (cədvəl xüsusiyyətlərində deyil, arifmetik xüsusiyyətlərində (kommutativ əlavə) "eyni" deməkdir) görmək üçün kifayət qədər ağıllı olduğunuzu güman edir. (2) x^2-2-nin kök mənfi deyil)). Ümid edirik ki, oxucular bu terminologiyadan istifadə edərkən bir az diqqətsizliyi anlayacaqlar.
- İpuçlarından hər hansı biri qeyri -müəyyən və ya ziddiyyətli görünürsə, birmənalı və ardıcıl olan bütün addımları edin və sonra hansı forma üstünlük verdiyinizi seçin.
