Cəbr tənliklərini faktorlaşdırmağın 3 yolu

2024 Müəllif: Jason Gerald | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-15 08:09

Riyaziyyatda, faktoring vurulduqda müəyyən bir ədəd və ya tənlik çıxaracaq ədəd və ya ifadələr tapmaq üsuludur. Faktorinq sadə cəbr problemlərini həll etməyi öyrənmək üçün faydalı bir bacarıqdır; yaxşı amil vermək bacarığı, kvadrat tənliklər və digər polinom formaları ilə məşğul olarkən vacib olur. Faktoring, həllini asanlaşdırmaq üçün cəbr ifadələrini sadələşdirmək üçün istifadə edilə bilər. Faktorinq hətta bəzi mümkün cavabları əl ilə həll etməkdən daha sürətli aradan qaldırmaq imkanı da verə bilər.

Addım

Metod 3: Faktorinq Nömrələri və Sadə Cəbr İfadələri

Addım 1. Tək ədədlərə tətbiq edildikdə faktorinq tərifini anlayın

Faktorinq sadə bir anlayışdır, amma praktikada mürəkkəb tənliklərə tətbiq edildikdə çətin ola bilər. Bu səbəbdən faktorinq anlayışına sadə nömrələrdən başlayaraq, daha sonra sadə tənliklərə keçərək, nəhayət daha mürəkkəb tətbiqlərə keçmədən yaxınlaşmaq daha asandır. Nömrənin faktorları, çoxaldıqda sayını yaradan ədədlərdir. Məsələn, 12 faktorları 1, 12, 2, 6, 3 və 4 -dir, çünki 1 × 12, 2 × 6 və 3 × 4 12 -yə bərabərdir.

• Düşünməyin başqa bir yolu, bir ədədin amillərinin ədədlərə bərabər şəkildə bölünə bilən ədədlər olmasıdır.

• 60 rəqəminin bütün faktorlarını tapa bilərsinizmi? 60 rəqəmini müxtəlif məqsədlər üçün istifadə edirik (bir saatda dəqiqə, bir saniyədə saniyə və s.) Çünki çoxlu sayda digər ədədlərə bölünə bilər.

  60 faktorları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 və 60 -dır

Addım 2. Dəyişən ifadələrin də faktorlaşdırıla biləcəyini anlayın

Nömrələrin özləri faktorlaşdırıla biləcəyi kimi, rəqəm əmsallı dəyişənlər də faktorlaşdırıla bilər. Bunun üçün dəyişən əmsalların faktorlarını tapmaq kifayətdir. Dəyişənləri necə faktorlaşdırmağı bilmək, bu dəyişəni əhatə edən cəbr tənliklərini sadələşdirmək üçün çox faydalıdır.

• Məsələn, 12x dəyişənini 12 və x faktorlarının məhsulu kimi yazmaq olar. 12x -ni 3 (4x), 2 (6x) və s. Olaraq yaza bilərik ki, 12 -nin hansı amillərindən məqsədlərimiz üçün daha yaxşı işləyir.

  Hətta bir neçə dəfə 12 dəfə faktor edə bilərik. Başqa sözlə, 3 (4x) və ya 2 (6x) ilə dayanmaq məcburiyyətində deyilik - 3 (2 (2x) və 2 (3 (2x)) çıxarmaq üçün 4x və 6x faktorlarını istifadə edə bilərik. Əlbəttə ki, bu iki ifadə ekvivalentdir

Addım 3. Çarpmanın paylayıcı xüsusiyyətini faktor cəbr tənliklərinə tətbiq edin

Həm tək ədədləri, həm də dəyişənləri əmsallarla necə təsir etməyiniz barədə biliklərinizdən istifadə edərək, cəbr tənliklərində ədədlərin və dəyişənlərin paylaşdığı faktorları taparaq sadə cəbr tənliklərini sadələşdirə bilərsiniz. Adətən bir tənliyi asanlaşdırmaq üçün ən böyük ortaq faktoru tapmağa çalışırıq. Bu sadələşdirmə prosesi a, b və c hər hansı bir rəqəmə aid olan çarpmanın paylayıcı xüsusiyyətinə görə mümkündür. a (b + c) = ab + ac.

• Bir nümunə sualı sınayaq. 12x + 6 cəbr tənliyini faktorize etmək üçün əvvəlcə 12x və 6 -nın ən böyük ortaq faktorunu tapmağa çalışaq. 6, 12x və 6 -nı bərabər şəkildə bölə bilən ən böyük rəqəmdir, beləliklə tənliyi 6 -ya (2x + 1) qədər sadələşdirə bilərik..
• Bu proses mənfi ədədləri və kəsrləri olan tənliklər üçün də keçərlidir. Məsələn, x/2 + 4, 1/2 (x + 8) -ə qədər sadələşdirilə bilər və -7x + -21 -7 (x + 3) -ə bölünə bilər.

Metod 2 3: Kvadrat Tənliklərin Faktorinqi

Addım 1. Tənliyin kvadratik formada olduğundan əmin olun (ax² + bx + c = 0).

Kvadrat tənliklər ax formasına malikdir² + bx + c = 0, burada a, b və c ədədlərin sabitidir və 0 -a bərabər deyil (a can 1 və ya -1 -ə bərabər olduğunu unutmayın). Bir x xala malik olan bir dəyişən (x) olan bir tənliyə sahibsinizsə, iki və ya daha çox gücə bərabərdirsə, ümumiyyətlə bu terminləri bərabər cəbri əməliyyatlar istifadə edərək bərabərlik işarəsi və baltanın hər iki tərəfində 0 almaq üçün tənliyə köçürürsünüz.²və s. Digər tərəfdə.

• Məsələn, cəbr tənliyini düşünək. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 x olaraq sadələşdirilə bilər² Kvadrat forması olan + 6x + 9 = 0.
• X kimi daha böyük gücə malik tənliklər³, x⁴və s. kvadrat tənliklər deyil. Bu tənliklər, 2 -dən böyük gücə malik olan x x terminlərini çıxarmaq üçün sadələşdirilə bilmədiyi təqdirdə, dördüncü gücə qədər olan kub tənliklərdir.

Addım 2. a = 1 olduğu bir kvadrat tənlikdə, (x+d) (x+e) əmsalını verir, burada d × e = c və d+e = b

Kvadrat tənliyiniz x şəklindədirsə² + bx + c = 0 (başqa sözlə, x termininin əmsalı² = 1), tənliyi faktorlaşdırmaq üçün kifayət qədər asan bir stenoqrafiya üsulunun istifadə edilməsi mümkündür (lakin zəmanət verilmir). Çarpanda c verən iki ədəd tapın və b istehsal etmək üçün əlavə olunur. Bu iki d və e rəqəmlərini axtardıqdan sonra bunları aşağıdakı ifadəyə daxil edin: (x+d) (x+e). Bu iki termin, vurulduqda sizə kvadrat tənliyinizi verir - başqa sözlə, kvadrat tənliyinizin faktorlarıdır.

• Məsələn, x kvadrat tənliyini düşünək² + 5x + 6 = 0. 3 və 2 ədədləri 6 -ya verilərək 5 -ə verilərək əlavə edilərək bu tənliyi (x + 3) (x + 2) olaraq sadələşdirə bilərik.

• Bu əsas stenoqrafiya metodunda cüzi fərq oxşarlıqların özündə olan fərqlərdədir:

  • Kvadrat tənlik x şəklindədirsə²-bx+c, cavabınız bu formadadır: (x - _) (x - _).
  • Əgər tənlik x şəklindədirsə²+ bx + c, cavabınız belə görünür: (x + _) (x + _).
  • Əgər tənlik x şəklindədirsə²-bx -c, cavabınız (x + _) (x -_) formasındadır.
• Qeyd: boşluqdakı ədədlər kəsr və ya ondalık ola bilər. Məsələn, x tənliyi² + (21/2) x + 5 = 0 (x + 10) (x + 1/2) hesablanır.

Addım 3. Mümkünsə, çekləri nəzərə alın

İnanın və ya inanmayın, mürəkkəb olmayan kvadrat tənliklər üçün icazə verilən faktorinq metodlarından biri problemi araşdırmaqdır, sonra düzgün cavabı tapana qədər mümkün cavabları nəzərdən keçirməkdir. Bu üsul müayinə yolu ilə faktorinq kimi də tanınır. Əgər tənlik ax şəklindədirsə²+bx +c və a> 1, faktor cavabınız (dx +/- _) (ex +/- _) formasındadır, burada d və e vurulduqda a verən sıfır olmayan ədədlərin sabitləridir. Nə d, nə də e (və ya hər ikisi) 1 ola bilməz, baxmayaraq ki, olmamalıdır. Hər ikisi 1 -dirsə, əsasən yuxarıda təsvir olunan stenoqrafiya metodundan istifadə edirsiniz.

Bir nümunə problemi düşünək. 3x² - 8x + 4 əvvəlcə çətin görünür. Ancaq 3-ün yalnız iki faktor (3 və 1) olduğunu anladıqda, cavabımızın (3x +/- _) (x +/- _) formasında olması lazım olduğunu bildiyimiz üçün bu tənlik asanlaşır. Bu vəziyyətdə hər iki boşluğa -2 əlavə etmək düzgün cavabı verir. -2 × 3x = -6x və -2 × x = -2x. -6x və -2x -8x -ə qədər əlavə edin. -2 × -2 = 4, buna görə də çoxaldıqda mötərizədə göstərilən terminlərin orijinal tənliyi meydana gətirdiyini görə bilərik.

Addım 4. Kvadratı tamamlayaraq həll edin

Bəzi hallarda, kvadrat tənliklər xüsusi cəbr kimliklərindən istifadə etməklə tez və asanlıqla faktorlaşdırıla bilər. X şəklində hər hansı bir kvadrat tənlik² + 2xs + h² = (x + h)². Beləliklə, tənliyinizdə b dəyəriniz c dəyərinizin kvadrat kökündən iki qat çoxdursa, tənliyiniz (x + (kök (c))) ilə bölünə bilər.².

Məsələn, x tənliyi² +6x+9 bu formaya malikdir. 3² 9 və 3 × 2 6 -dır. Beləliklə, bu tənliyin faktor formasının (x + 3) (x + 3) və ya (x + 3) olduğunu bilirik.².

Addım 5. Kvadrat tənlikləri həll etmək üçün amillərdən istifadə edin

Kvadrat tənliyinizi necə əsaslandırmağınızdan asılı olmayaraq, tənlik faktorlandıqdan sonra, hər bir faktoru sıfıra bərabərləşdirərək onları həll edərək x -in dəyərinə mümkün cavabları tapa bilərsiniz. Tənliyinizi sıfıra bərabər edən x -in dəyərini axtardığınız üçün hər hansı bir faktoru sıfıra bərabər edən x -in dəyəri kvadrat tənliyinizə mümkün cavabdır.

X tənliyinə qayıdaq² + 5x + 6 = 0. Bu tənlik (x + 3) (x + 2) = 0 hesablanır. Əgər hər iki faktor 0-a bərabərdirsə, bütün tənliklər 0-a bərabərdir, buna görə x üçün mümkün cavablarımız ədədlərdir. x + 3) və (x + 2) 0 -a bərabərdir. Bu ədədlər müvafiq olaraq -3 və -2 -dir.

Addım 6. Cavablarınızı yoxlayın - bəzi cavablar yanlış ola bilər

X üçün mümkün cavabları tapdığınızda, cavabın doğru olub olmadığını görmək üçün onları orijinal tənliyinizə qoşun. Bəzən tapdığınız cavablar, yenidən daxil edildikdə orijinal tənliyi sıfıra bərabər etmir. Bu cavabı deviant adlandırırıq və buna məhəl qoymuruq.

• -2 və -3 -ü x -ə qoyaq² + 5x + 6 = 0. Birincisi, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Bu cavab doğrudur, buna görə -2 düzgün cavabdır.

• İndi cəhd edək -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Bu cavab da doğrudur, buna görə -3 düzgün cavabdır.

Metod 3 /3: Digər Tənliklərin Faktorinqi

Addım 1. Əgər tənlik a şəklində ifadə olunarsa²-b², (a+b) (a-b) faktoru.

İki dəyişənli tənliklər əsas kvadrat tənlikdən fərqli amillərə malikdir. Tənlik üçün a²-b² a və b-nin 0-a bərabər olmadığı hər şey, tənliyin amilləri (a+b) (a-b) -dir.

Məsələn, 9x tənliyi² - 4y² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Addım 2. Tənlik a şəklində ifadə edilərsə²+2ab+b², faktor (a+b)².

Qeyd edək ki, əgər trinomial a formasındadırsa²-2ab+b², forma faktorları bir qədər fərqlidir: (a-b)².

4x tənlik² + 8xsi + 4y² 4x olaraq yenidən yazıla bilər² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². İndi, formanın düzgün olduğunu görə bilərik, buna görə də tənliyimizin faktorlarının (2x + 2y) olduğuna əmin ola bilərik.²

Addım 3. Əgər tənlik a şəklində ifadə olunarsa³-b³, (a-b) (a²+ab+b²).

Nəhayət, faktorinq prosesi çox çətinləşsə də, kub tənliklərin və hətta daha yüksək güclərin faktorlaşdırıla biləcəyi artıq qeyd edilmişdir.

Məsələn, 8 dəfə³ - 27 yaş³ (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

İpuçları

• a²-b² faktorlaşdırıla bilər, a²+b² faktorlaşdırmaq olmaz.
• Sabiti necə əmsal edəcəyinizi unutmayın. Bu kömək edə bilər.
• Faktorinq prosesində fraksiya ilə diqqətli olun və fraksiyalarla düzgün və diqqətlə işləyin.
• X formalı bir üçbucaq varsa²+ bx+ (b/2)², forma faktoru (x+(b/2))². (Meydanı tamamlayarkən bu vəziyyətlə qarşılaşa bilərsiniz.)
• Unutmayın ki, a0 = 0 (sıfır məhsulunun xassəsi).